Профиль №16. Задачи о вкладах и кредитах. Задача 66В (ЕГЭ 2016, 2024)

66В (ЕГЭ 2016, 2024). В июле 2017 года планируется взять кредит в банке на четыре года в размере S млн руб., где S— целое число. Условия его возврата таковы:

каждый январь долг увеличивается на 15% по сравнению с концом предыдущего года;
с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга;
в июле каждого года долг должен составлять часть кредита в соответствии со следующей таблицей.

Месяц и год	Июль 2017	Июль 2018	Июль 2019	Июль 2020	Июль 2021
Долг (в млн. рублей)	S	0,8 S	0,5 S	0,1 S	0

Найдите наибольшее значение S, при котором общая сумма выплат будет меньше 50 млн рублей.

Ответ

ОТВЕТ: 36.

Решение

S – кредит млн рублей (S – целое).

Каждый год остаток долга увеличивается на 15%. Первый год долг уменьшается на \(S — 0,8S = 0,2S\), второй год на \(0,8S — 0,5S = 0,3S\), третий год на \(0,5S — 0,1S = 0,4S\) и четвертый на 0,1S.

Год	Начисленные % (млн руб)	Выплата (млн руб)	Остаток (млн руб)
2018	\(0,15S\)	\(0,15S + 0,2S = 0,35S\)	\(0,8S\)
2019	\(0,15 \cdot 0,8S\)	\(0,15 \cdot 0,8S + 0,3S = 0,42S\)	\(0,5S\)
2020	\(0,15 \cdot 0,5S\)	\(0,15 \cdot 0,5S + 0,4S = 0,475S\)	\(0,1S\)
2021	\(0,15 \cdot 0,1S\)	\(0,15 \cdot 0,1S + 0,1S = 0,115S\)	0

Тогда общая сумма выплат: \(0,35S + 0,42S + 0,475S + 0,115S = 1,36S.\)

По условию: \(1,36S < 50\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,S < \dfrac{{5000}}{{136}}\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,S < \dfrac{{625}}{{17}}\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,S < 36\dfrac{{13}}{{17}}.\)

Так как S наибольшее целое, то S = 36 млн руб.

Ответ: 36.