67В. В июле 2017 года планируется взять кредит в банке на три года в размере S млн руб., где S—целое число. Условия его возврата таковы:

  • каждый январь долг увеличивается на 25% по сравнению с концом предыдущего года;
  • с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить одним платежом часть долга;
  • в июле каждого года долг должен составлять часть кредита в соответствии со следующей таблицей.
Месяц и год Июль 2017 Июль 2018 Июль 2019 Июль 2020
Долг (в млн. рублей) S 0,7 S 0,4 S 0

Найдите наименьшее S, при котором каждая из выплат будет больше 5 млн рублей.

Ответ

ОТВЕТ: 11.

Решение

S – кредит млн. рублей (S – целое).

Каждый год остаток долга увеличивается на 25%. Первый год долг уменьшается на \(S — 0,7S = 0,3S\), второй год на \(0,7S — 0,4S = 0,3S\) и третий год на 0,4S.

Год Начисленные % (млн. руб) Выплата (млн. руб) Остаток (млн. руб)
2018 \(0,25S\) \(0,25S + 0,3S = 0,55S\) \(0,7S\)
2019 \(0,25 \cdot 0,7S\) \(0,25 \cdot 0,7S + 0,3S = 0,475S\) \(0,4S\)
2020 \(0,25 \cdot 0,4S\) \(0,25 \cdot 0,4S + 0,4 = 0,5S\) 0

Чтобы все выплаты были больше 5млн. рублей достаточно, чтобы наименьшая выплата была больше 5млн. рублей. Наименьшей является вторая выплата – 0,475S.

\(0,475S > 5\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,S > \frac{{5000}}{{475}}\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,S > \frac{{200}}{{19}}\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,S > 10\frac{{10}}{{19}}.\)

Так как S наименьшее целое, то S = 11 млн. руб.

Ответ: 11.