Профиль №16. Задачи о вкладах и кредитах. Задача 68В (ЕГЭ 2016)

68В (ЕГЭ 2016). В июле 2017 года планируется взять кредит в банке на три года в размере S млн руб., где S— целое число. Условия его возврата таковы:

каждый январь долг увеличивается на 25% по сравнению с концом предыдущего года;
с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить одним платежом часть долга;
в июле каждого года долг должен составлять часть кредита в соответствии со следующей таблицей.

Месяц и год	Июль 2017	Июль 2018	Июль 2019	Июль 2020
Долг (в млн. рублей)	S	0,7 S	0,4 S	0

Найдите наибольшее значение S, при котором разница между наибольшей и наименьшей выплатами будет меньше 1 млн рублей.

Ответ

ОТВЕТ: 13.

Решение

S – кредит млн рублей (S – целое).

Каждый год остаток долга увеличивается на 25%. Первый год долг уменьшается на \(S — 0,7S = 0,3S\), второй год на \(0,7S — 0,4S = 0,3S\) и третий год на 0,4S.

Год	Начисленные % (млн руб)	Выплата (млн руб)	Остаток (млн руб)
2018	\(0,25S\)	\(0,25S + 0,3S = 0,55S\)	\(0,7S\)
2019	\(0,25 \cdot 0,7S\)	\(0,25 \cdot 0,7S + 0,3S = 0,475S\)	\(0,4S\)
2020	\(0,25 \cdot 0,4S\)	\(0,25 \cdot 0,4S + 0,4S = 0,5S\)	0

Наибольшая выплата первая 0,55S, а наименьшая вторая 0,475S и разница между ними должна быть меньше 1млн рублей:

\(0,55S — 0,475S < 1\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,0,075S < 1\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,S < \dfrac{{1000}}{{75}}\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,S < \dfrac{{40}}{3}\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,S < 13\dfrac{1}{3}.\)

Так как S наибольшее целое, то S = 13млн руб.

Ответ: 13.