69В. В июле 2017 года планируется взять кредит в банке на пять лет в размере S тыс. рублей. Условия его возврата таковы:

  • каждый январь долг возрастает на 25% по сравнению с концом предыдущего года;
  • с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга;
  • в июле 2018, 2019 и 2020 гг. долг остаётся равным S тыс. рублей;
  • выплаты в 2021 и 2022 годах равны по 625 тыс. рублей;
  • к июлю 2022 года долг будет выплачен полностью.

Найдите общую сумму выплат за пять лет. Ответ дайте в тыс. рублей.

Ответ

ОТВЕТ: 1925.

Решение

S – кредит в тыс. рублей.

Каждый год остаток долга увеличивается на 25%, то есть в \(\frac{{100 + 25}}{{100}} = 1,25\) раза.

Первые 3 года заёмщик выплачивает только проценты, то есть по \(0,25S\), а в конце четвёртого и пятого годов по 625 тыс. рублей.

Год Долг после начисления процентов (тыс. руб) Платёж (тыс. руб) Остаток после платежа (тыс. руб)
2018 \(1,25S\) \(0,25S\) S
2019 \(1,25S\) \(0,25S\) S
2020 \(1,25S\) \(0,25S\) S
2021 \(1,25S\) 625 \(1,25S — 625\)
2022 \(\left( {1,25S — 625} \right)1,25\) 625 \(\left( {1,25S — 625} \right)1,25 — 625\)

Остаток в конце пятого года равен нулю:

\(\,\left( {\frac{5}{4}S — 625} \right) \cdot \frac{5}{4} — 625 = 0\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\frac{{25}}{{16}}S = 625 \cdot \frac{5}{4} + 625\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,S = \frac{{625 \cdot 9 \cdot 16}}{{4 \cdot 25}} = 900.\)

Общая сумма выплат за 5 лет равна:  \(3 \cdot 0,25S + 2 \cdot 625 = 0,75 \cdot 900 + 1250 = 1925\) тыс. рублей.

Ответ: 1925.