71В. Пётр взял кредит в банке на срок 12 месяцев. По договору Пётр должен вернуть кредит ежемесячными платежами. В конце каждого месяца к оставшейся сумме долга добавляется r% этой суммы, и своим ежемесячным платежом Пётр погашает эти добавленные проценты и уменьшает сумму долга. Ежемесячные платежи подбираются так, чтобы долг уменьшался на одну и ту же величину каждый месяц. Известно, что общая сумма, выплаченная Петром банку за весь срок кредитования, оказалась на 13% больше, чем сумма, взятая им в кредит. Найдите r.

Ответ

ОТВЕТ: 2.

Решение

A – кредит сроком на 12 месяцев. Каждый месяц банк начисляет r % на остаток, а заемщик выплачивает эти проценты и двенадцатую часть от суммы кредита, то есть \(\frac{A}{{12}}\). Таким образом, через 1 месяц остаток долга будет \(\frac{{11A}}{{12}}\), через 2 месяца \(\frac{{10A}}{{12}}\) и так далее.

Месяц Начисленные % Остаток после платежа
1 \(A \cdot \frac{r}{{100}}\) \(A — \frac{A}{{12}} = \frac{{11A}}{{12}}\)
2 \(\frac{{11A}}{{12}} \cdot \frac{r}{{100}}\) \(\frac{{11A}}{{12}} — \frac{A}{{12}} = \frac{{10A}}{{12}}\)
… … …
12 \(\frac{A}{{12}} \cdot \frac{r}{{100}}\) 0

Так как общая сумма, выплаченная банку за весь срок кредитования, оказалась на 13% больше, чем сумма, взятая в кредит, то начисленные проценты равны 13% от суммы кредита, то есть \(A \cdot \frac{{13}}{{100}}\)

\(\frac{{12A}}{{12}} \cdot \frac{r}{{100}} + \frac{{11A}}{{12}} \cdot \frac{r}{{100}} + ….. + \frac{A}{{12}} \cdot \frac{r}{{100}} = A \cdot \frac{{13}}{{100}}\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\frac{A}{{12}} \cdot \frac{r}{{100}}(12 + 11 + ….. + 1) = \frac{{13A}}{{100}}\,\left| {\,:\,A} \right.\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \)

\( \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\frac{r}{{12}} \cdot \frac{{1 + 12}}{2} \cdot 12 = 13\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\frac{r}{{12}} \cdot \frac{{13}}{2} \cdot 12 = 13\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,r = 2\% .\)

Ответ: 2.