A – кредит сроком на 12 месяцев. Каждый месяц банк начисляет r % на остаток, а заемщик выплачивает эти проценты и двенадцатую часть от суммы кредита, то есть \(\dfrac{A}{{12}}\). Таким образом, через 1 месяц остаток долга будет \(\dfrac{{11A}}{{12}}\), через 2 месяца \(\dfrac{{10A}}{{12}}\) и так далее.
| Месяц |
Начисленные % |
Остаток после платежа |
| 1 |
\(A \cdot \dfrac{r}{{100}}\) |
\(A — \dfrac{A}{{12}} = \dfrac{{11A}}{{12}}\) |
| 2 |
\(\dfrac{{11A}}{{12}} \cdot \dfrac{r}{{100}}\) |
\(\dfrac{{11A}}{{12}} — \dfrac{A}{{12}} = \dfrac{{10A}}{{12}}\) |
| … |
… |
… |
| 12 |
\(\dfrac{A}{{12}} \cdot \dfrac{r}{{100}}\) |
0 |
Так как общая сумма, выплаченная банку за весь срок кредитования, оказалась на 13% больше, чем сумма, взятая в кредит, то начисленные проценты равны 13% от суммы кредита, то есть \(A \cdot \dfrac{{13}}{{100}}\)
\(\dfrac{{12A}}{{12}} \cdot \dfrac{r}{{100}} + \dfrac{{11A}}{{12}} \cdot \dfrac{r}{{100}} + ….. + \dfrac{A}{{12}} \cdot \dfrac{r}{{100}} = A \cdot \dfrac{{13}}{{100}}\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\dfrac{A}{{12}} \cdot \dfrac{r}{{100}}(12 + 11 + ….. + 1) = \dfrac{{13A}}{{100}}\,\left| {\,:\,A} \right.\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \)
\( \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\dfrac{r}{{12}} \cdot \dfrac{{1 + 12}}{2} \cdot 12 = 13\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\dfrac{r}{{12}} \cdot \dfrac{{13}}{2} \cdot 12 = 13\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,r = 2\% .\)
Ответ: 2.