72В. Алексей взял кредит в банке на срок 17 месяцев. По договору Алексей должен вернуть кредит ежемесячными платежами. В конце каждого месяца к оставшейся сумме долга добавляется r% этой суммы, и своим ежемесячным платежом Алексей погашает эти добавленные проценты и уменьшает сумму долга. Ежемесячные платежи подбираются так, чтобы долг уменьшался на одну и ту же величину каждый месяц. Известно, что общая сумма, выплаченная Алексеем банку за весь срок кредитования, оказалась на 27% больше, чем сумма, взятая им в кредит. Найдите r.

Ответ

ОТВЕТ: 3.

Решение

A – кредит сроком на 17 месяцев. Каждый месяц банк начисляет r % на остаток долга, а заемщик выплачивает эти проценты и семнадцатую часть от суммы кредита, то есть \(\frac{A}{{17}}\). Таким образом, через 1 месяц остаток долга будет \(\frac{{16A}}{{17}}\), через 2 месяца \(\frac{{15A}}{{17}}\) и так далее.

Месяц Начисленные % Остаток после платежа
1 \(A \cdot \frac{r}{{100}}\) \(A — \frac{A}{{17}} = \frac{{16A}}{{17}}\)
2 \(\frac{{16A}}{{17}} \cdot \frac{r}{{100}}\) \(\frac{{16A}}{{17}} — \frac{A}{{17}} = \frac{{15A}}{{17}}\)
… … …
17 \(\frac{A}{{17}} \cdot \frac{r}{{100}}\) 0

Так как общая сумма, выплаченная банку за весь срок кредитования, оказалась на 27% больше, чем сумма, взятая в кредит, то начисленные проценты равны 27% от суммы кредита, то есть \(A \cdot \frac{{27}}{{100}}\).

\(\frac{{17A}}{{17}} \cdot \frac{r}{{100}} + \frac{{16A}}{{17}} \cdot \frac{r}{{100}} + ….. + \frac{A}{{17}} \cdot \frac{r}{{100}} = A \cdot \frac{{27}}{{100}}\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\frac{A}{{17}} \cdot \frac{r}{{100}}(17 + 16 + ….. + 1) = \frac{{27A}}{{100}}\,\left| {\,:\,A\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow } \right.\)

\( \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\,\frac{r}{{17}} \cdot \frac{{1 + 17}}{2} \cdot 17 = 27\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\frac{r}{{17}} \cdot \frac{{18}}{2} \cdot 17 = 27\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,r = 3\% .\)

Ответ: 3.