A – кредит сроком на 48 месяцев. Каждый месяц банк начисляет r % на остаток, а заемщик выплачивает эти проценты и сорок восьмую часть от суммы кредита, то есть \(\frac{A}{{48}}\). Таким образам, через 1 месяц остаток долга будет \(\frac{{47A}}{{48}}\), через 2 месяца \(\frac{{46A}}{{48}}\) и так далее.
| Месяц |
Начисленные % |
Остаток после платежа |
| 1 |
\(A \cdot \frac{r}{{100}}\) |
\(A — \frac{A}{{48}} = \frac{{47A}}{{48}}\) |
| 2 |
\(\frac{{47A}}{{48}} \cdot \frac{r}{{100}}\) |
\(\frac{{47A}}{{48}} — \frac{A}{{48}} = \frac{{46A}}{{48}}\) |
| … |
… |
… |
| 48 |
\(\frac{A}{{48}} \cdot \frac{r}{{100}}\) |
0 |
Так как общая сумма, выплаченная банку за весь срок кредитования, оказалась на 49% больше, чем сумма, взятая в кредит, то начисленные проценты равны 49% от суммы кредита, то есть \(A \cdot \frac{{49}}{{100}}\)
\(\frac{{48A}}{{48}} \cdot \frac{r}{{100}} + \frac{{47A}}{{48}} \cdot \frac{r}{{100}} + ….. + \frac{A}{{48}} \cdot \frac{r}{{100}} = A \cdot \frac{{49}}{{100}}\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\frac{A}{{48}} \cdot \frac{r}{{100}}(48 + 47 + ….. + 1) = A \cdot \frac{{49}}{{100}}\,\left| {\,:A\,\,\,\,\, \Leftrightarrow } \right.\)
\( \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\,\,\frac{r}{{48}} \cdot \frac{{1 + 48}}{2} \cdot 48 = 49\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\frac{r}{{48}} \cdot \frac{{49}}{2} \cdot 48 = 49\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,r = 2\% .\)
Ответ: 2.