Профиль №16. Задачи о вкладах и кредитах. Задача 76В

76В. В июле планируется взять кредит в банке на сумму 20 млн рублей на некоторый срок (целое число лет). Условия его возврата таковы:

каждый январь долг возрастает на 30% по сравнению с концом предыдущего года;
с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга;
в июле каждого года долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на июль предыдущего года.

На сколько лет планируется взять кредит, если известно, что общая сумма выплат после его полного погашения составит 47 млн рублей?

Ответ

ОТВЕТ: 8.

Решение

A = 20 млн. рублей кредит сроком на n лет так как каждый год долг должен уменьшатся на одну и ту же сумму, то заемщик каждый год выплачивает проценты начисленные за год на остаток и \(\dfrac{A}{n}\). Тогда остаток через год будет \(A — \dfrac{A}{n} = \dfrac{{A \cdot (n — 1)}}{n},\) через 2 года \(\dfrac{{A \cdot (n — 2)}}{n}\) и так далее.

Год	Начисленные %	Остаток после платежа
1	\(A \cdot \dfrac{{30}}{{100}}\)	\(\dfrac{{A(n — 1)}}{n}\)
2	\(\dfrac{{A(n — 1)}}{n} \cdot \dfrac{{30}}{{100}}\)	\(\dfrac{{A(n — 2)}}{n}\)
…	…	…
n	\(\dfrac{A}{n} \cdot \dfrac{{30}}{{100}}\)	0

Общая сумма выплат равна начисленным процентам за n лет плюс сам кредит A:

\(\dfrac{{A \cdot n}}{n} \cdot \dfrac{{30}}{{100}} + \dfrac{{A \cdot (n — 1)}}{n} \cdot \dfrac{{30}}{{100}} + ….. + \dfrac{A}{n} \cdot \dfrac{{30}}{{100}} + A = 47\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\dfrac{A}{n} \cdot \dfrac{{30}}{{100}} \cdot (n + (n — 1) + ….. + 1) + A = 47\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \)

\(\dfrac{{20}}{n} \cdot \dfrac{3}{{10}} \cdot \dfrac{{1 + n}}{2} \cdot n + 20 = 47\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,3\left( {1 + n} \right) = 27\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,n = 8.\)

Ответ: 8.