A = 20 млн. рублей кредит сроком на n лет так как каждый год долг должен уменьшатся на одну и ту же сумму, то заемщик каждый год выплачивает проценты начисленные за год на остаток и \(\frac{A}{n}\). Тогда остаток через год будет \(A — \frac{A}{n} = \frac{{A \cdot (n — 1)}}{n},\) через 2 года \(\frac{{A \cdot (n — 2)}}{n}\) и так далее.
| Год |
Начисленные % |
Остаток после платежа |
| 1 |
\(A \cdot \frac{{30}}{{100}}\) |
\(\frac{{A(n — 1)}}{n}\) |
| 2 |
\(\frac{{A(n — 1)}}{n} \cdot \frac{{30}}{{100}}\) |
\(\frac{{A(n — 2)}}{n}\) |
| … |
… |
… |
| n |
\(\frac{A}{n} \cdot \frac{{30}}{{100}}\) |
0 |
Общая сумма выплат равна начисленным процентам за n лет плюс сам кредит A:
\(\frac{{A \cdot n}}{n} \cdot \frac{{30}}{{100}} + \frac{{A \cdot (n — 1)}}{n} \cdot \frac{{30}}{{100}} + ….. + \frac{A}{n} \cdot \frac{{30}}{{100}} + A = 47\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\frac{A}{n} \cdot \frac{{30}}{{100}} \cdot (n + (n — 1) + ….. + 1) + A = 47\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \)
\(\frac{{20}}{n} \cdot \frac{3}{{10}} \cdot \frac{{1 + n}}{2} \cdot n + 20 = 47\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,3\left( {1 + n} \right) = 27\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,n = 8.\)
Ответ: 8.