81В. 15 января планируется взять кредит в банке на 16 месяцев. Условия его возврата таковы:

— 1-го числа каждого месяца долг возрастает на 2 % по сравнению с концом предыдущего месяца;

— со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;

— 15-го числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на 15-е число предыдущего месяца.

Какую сумму следует взять в кредит, чтобы общая сумма выплат после полного погашения равнялась 2,34 млн рублей?

Ответ

ОТВЕТ: 2 000 000.

Решение

A — кредит в млн. рублей сроком на 16 месяцев. Каждый месяц банк начисляет 2% на остаток, а заемщик выплачивает эти начисленные проценты и шестнадцатую часть от суммы кредита, то есть \(\frac{A}{{16}}\). Таким образом, через 1 месяц остаток долга будет \(\frac{{15A}}{{16}}\), через 2 месяца \(\frac{{14A}}{{16}}\) и так далее.

Месяц Начисленные % (млн. руб) Остаток (млн. руб)
1 \(A \cdot \frac{2}{{100}}\) \(A — \frac{A}{{16}} = \frac{{15A}}{{16}}\)
2 \(\frac{{15A}}{{16}} \cdot \frac{2}{{100}}\) \(\frac{{15A}}{{16}} — \frac{A}{{16}} = \frac{{14A}}{{16}}\)
… … …
16 \(\frac{A}{{16}} \cdot \frac{2}{{100}}\) 0


Общая сумма выплат после полного погашения кредита равна сумме самого кредита А и начисленным процентам.

\(A + \frac{{16A}}{{16}} \cdot \frac{2}{{100}} + \frac{{15A}}{{16}} \cdot \frac{2}{{100}} + … + \frac{A}{{16}} \cdot \frac{2}{{100}} = 2,34\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,A + \frac{A}{{16}} \cdot \frac{2}{{100}} \cdot \left( {16 + 15 + … + 1} \right) = 2,34\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \)

\( \Leftrightarrow \,\,\,\,\,A + \frac{A}{{800}} \cdot \frac{{1 + 16}}{2} \cdot 16 = 2,34\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,A + \frac{{17A}}{{100}} = 2,34\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,1,17A = 2,34\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,A = 2.\)

Ответ: 2 000 000 рублей.