82В. 15 января планируется взять кредит в банке на 10 месяцев. Условия его возврата таковы:

— 1-го числа каждого месяца долг возрастает на 4 % по сравнению с концом предыдущего месяца;

— со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;

— 15-го числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на 15-е число предыдущего месяца.

Какую сумму следует взять в кредит, чтобы общая сумма выплат после полного погашения равнялась 1,83 млн рублей?

Ответ

ОТВЕТ: 1 500 000.

Решение

A — кредит в млн. рублей сроком на 10 месяцев. Каждый месяц банк начисляет 4% на остаток, а заемщик выплачивает эти проценты начисленные и десятую часть от суммы кредита, то есть \(\frac{A}{{10}}\). Таким образом, через 1 месяц остаток долга будет \(\frac{{9A}}{{10}}\), через 2 месяца \(\frac{{8A}}{{10}}\) и так далее.

Месяц Начисленные % (млн. руб) Остаток (млн. руб)
1 \(A \cdot \frac{4}{{100}}\) \(A — \frac{A}{{10}} = \frac{{9A}}{{10}}\)
2 \(\frac{{9A}}{{10}} \cdot \frac{4}{{100}}\) \(\frac{{9A}}{{10}} — \frac{A}{{10}} = \frac{{8A}}{{10}}\)
… … …
10 \(\frac{A}{{10}} \cdot \frac{4}{{100}}\) 0


Общая сумма выплат после полного погашения кредита равна сумме самого кредита А и начисленным процентам.

\(A + \frac{{10A}}{{10}} \cdot \frac{4}{{100}} + \frac{{9A}}{{10}} \cdot \frac{4}{{100}} + … + \frac{A}{{10}} \cdot \frac{4}{{100}} = 1,83\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,A + \frac{A}{{10}} \cdot \frac{4}{{100}} \cdot \left( {10 + 9 + … + 1} \right) = 1,83\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \)

\( \Leftrightarrow \,\,\,\,\,A + \frac{A}{{250}} \cdot \frac{{1 + 10}}{2} \cdot 10 = 1,83\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,A + \frac{{11A}}{{50}} = 1,83\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,1,22A = 1,83\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,A = 1,5\) млн. руб.

Ответ: 1 500 000.