Профиль №16. Задачи о вкладах и кредитах. Задача 83В (ЕГЭ 2018)

83В (ЕГЭ 2018). 15-го декабря планируется взять кредит в банке на 1 000 000 рублей на (n + 1) месяц. Условия его возврата таковы:

—1-го числа каждого месяца долг возрастает на r % по сравнению с концом предыдущего месяца;

—cо 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;

—15-го числа каждого месяца с 1-го по n-й долг должен быть на 40 тысяч рублей меньше долга на 15-е число предыдущего месяца;

—15-го числа n-го месяца долг составит 200 тысяч рублей;

—к 15-му числу (n + 1)-го месяца кредит должен быть полностью погашен.

Найдите r, если известно, что общая сумма выплат после полного погашения кредита составит 1378 тысяч рублей.

Ответ

ОТВЕТ: 3.

Решение

Так как в конце n– го месяца долг составил 200 тысяч рублей, то за n месяцев долг был уменьшен на \(1000 — 200 = 800\) тысяч рублей. Учитывая, что первые n месяцев долг уменьшался на 40 тысяч рублей каждый месяц, то \(n = \dfrac{{800}}{{40}} = 20\).

Месяц	Начисленные % (тыс. руб)	Остаток (тыс. руб)
1	\(1000 \cdot \dfrac{r}{{100}}\)	\(1000 — 40 = 960\)
2	\(960 \cdot \dfrac{r}{{100}}\)	\(960 — 40 = 920\)
…	…	…
20	\(240 \cdot \dfrac{r}{{100}}\)	\(240 — 40 = 200\)
21	\(200 \cdot \dfrac{r}{{100}}\)	\(200 — 200 = 0\)

Общая сумма выплат после полного погашения кредита равна сумме самого кредита и начисленным процентам. Следовательно, начисленные проценты равны: \(1378 — 1000 = 378\) тысяч рублей.

\(1000 \cdot \dfrac{r}{{100}} + 960 \cdot \dfrac{r}{{100}} + … + 240 \cdot \dfrac{r}{{100}} + 200 \cdot \dfrac{r}{{100}} = 378\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\)

\( \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\dfrac{r}{{100}} \cdot \left( {1000 + 960 + .. + 200} \right) = 378\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\dfrac{r}{{100}} \cdot \dfrac{{1000 + 200}}{2} \cdot 21 = 378\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,126 \cdot r = 378\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,r = 3.\)

Ответ: 3.