86В. 15-го декабря планируется взять кредит в банке на сумму 1100 тысяч рублей на 31 месяц. Условия его возврата таковы:

— 1-го числа каждого месяца долг возрастает на 2% по сравнению с концом предыдущего месяца;

— со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;

— 15-го числа каждого месяца с 1-го по 30-й долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на 15-е число предыдущего месяца;

— к 15-му числу 31-го месяца кредит должен быть полностью погашен. Какой долг будет 15-го числа 30-го месяца, если общая сумма выплат после полного погашения кредита составит 1503 тысячи рублей?

Ответ

ОТВЕТ: 200 000.

Решение

A = 1100 тыс. рублей кредит сроком на 31 месяц.

В течение первых 30 месяцев банк начисляет 2% на остаток, а заемщик выплачивает эти проценты и еще х тыс. рублей. Таким образом, через 1 месяц остаток долга будет A–х, через 2 месяца A–2х и так далее, а через 30 месяцев  A–30х.

месяц Начисленные % (тыс. руб) Остаток (тыс. руб)
1 \(A \cdot \frac{2}{{100}}\) A–х
2 \((A — x) \cdot \frac{2}{{100}}\) A–2x
… … …
30 \((A — 29x) \cdot \frac{2}{{100}}\) A–30x
31 \((A — 30x) \cdot \frac{2}{{100}}\) 0

Общая сумма выплат после полного погашения кредита равна сумме самого кредита и начисленным процентам. Следовательно, начисленные проценты равны: \(1503 — 1100 = 403\) тысяч рублей.

\(A \cdot \frac{2}{{100}} + (A — x) \cdot \frac{2}{{100}} + … + (A — 29x) \cdot \frac{2}{{100}} + (A — 30x) \cdot \frac{2}{{100}} = 403\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \)

\( \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\frac{2}{{100}}(A + (A — x) + … + (A — 29x) + (A — 30x)) = 403\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \)

\( \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\frac{2}{{100}} \cdot \frac{{A + A — 30x}}{2} \cdot 31 = 403\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\frac{{2A — 30x}}{{100}} = 13\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,2200 — 30x = 1300\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,x = 30.\)

Таким образам, долг 15–го числа 30–го месяца будет равен:  \(A — 30x = 1100 — 30 \cdot 30 = 200\) тысяч рублей.

Ответ: 200 000.