87В. 15-го декабря планируется взять кредит в банке на 21 месяц. Условия возврата таковы:

— 1-го числа каждого месяца долг возрастает на 3% по сравнению с концом предыдущего месяца;

— со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;

— 15-го числа каждого месяца с 1-го по 20-й долг должен быть на 30 тысяч рублей меньше долга на 15-е число предыдущего месяца;

— к 15-му числу 21-го месяца кредит должен быть полностью погашен.

Какую сумму планируется взять в кредит, если общая сумма выплат после полного его погашения составит 1604 тысяч рублей?

Ответ

ОТВЕТ: 1 100 000.

Решение

A – кредит в тыс. рублей сроком на 21 месяц.

В течение первых 20 месяцев банк начисляет 3% на остаток, а заёмщик выплачивает эти проценты и ещё 30 тысяч рублей. Таким образом, через 1 месяц остаток долга будет A–30, через 2 месяца A–60 и так далее, а через 20 месяцев A–600.

Месяц Начисленные % (тыс. руб) Остаток (тыс. руб)
1 \(A \cdot \frac{3}{{100}}\) A–30
2 \((A — 30) \cdot \frac{3}{{100}}\) A–60
… … …
20 \((A — 570) \cdot \frac{3}{{100}}\) A–600
21 \((A — 600) \cdot \frac{3}{{100}}\) 0

Общая сумма выплат после полного погашения кредита равна сумме самого кредита и начисленным процентам. Следовательно:

\(A + A \cdot \frac{3}{{100}} + (A — 30) \cdot \frac{3}{{100}} + … + (A — 570) \cdot \frac{3}{{100}} + (A — 600) \cdot \frac{3}{{100}} = 1604\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \)

\( \Leftrightarrow \,\,\,\,\,A + \frac{3}{{100}} \cdot (A + (A — 30) + … + (A — 570) + (A — 600)) = 1604\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \)

\( \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,A + \frac{3}{{100}} \cdot \frac{{A + A — 600}}{2} \cdot 21 = 1604\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,A + \frac{{63}}{{100}} \cdot (A — 300) = 1604\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \)

\( \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,100A + 63A — 18900 = 160400\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,163A = 179300\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,A = 1100\) тыс. рублей.

Ответ: 1 100 000 рублей.