91В. Вклад планируется открыть на четыре года. Первоначальный вклад составляет целое число миллионов рублей. В конце каждого года банк увеличивает вклад на 10% по сравнению с его размером в начале года. Кроме этого, в начале третьего и четвёртого годов вкладчик ежегодно пополняет вклад на 3 млн рублей. Найдите наименьший размер первоначального вклада, при котором банк за четыре года начислит на вклад больше 5 млн рублей.

Ответ

ОТВЕТ: 9.

Решение

А – первоначальный вклад (в млн. руб); А – целое.  Срок кредита 4 года, под 10% годовых.

Год Сумма в начале года (млн. руб) Сумма в конце года (млн. руб)
1 \(A\) \(A \cdot 1,1\)
2 \(\)\(A \cdot 1,1\) \(A \cdot 1,1 \cdot 1.1\)
3 \(A \cdot {1,1^2} + 3\) \((A \cdot {1,1^2} + 3) \cdot 1,1\)
4 \((A \cdot {1,1^2} + 3) \cdot 1,1 + 3\) \(((A \cdot {1,1^2} + 3)1,1 + 3) \cdot 1,1\)

Так как банк за 4 года, должен начислить больше 5 млн. рублей, то в конце четвёртого года сумма должна быть больше чем сумма положенная на вклад (это А+3+3 млн. руб.) и плюс к ней начисленные проценты (это 5 млн. рублей).

\(\left( {\left( {A \cdot {{1,1}^2} + 3} \right) \cdot 1,1 + 3} \right)1,1\,\,\, > \,\,A + 3 + 3 + 5\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,A \cdot {1,1^4} + 3 \cdot {1,1^2} + 3 \cdot 1,1\,\,\, > A + 11\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \)

\( \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,1,4641A — A\,\,\, > \,\,11 — 3,3 — 3,63\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,0,4641A\,\,\, > 4,07\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,A\,\, > \,\frac{{40700}}{{4641}}\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,A\,\, > \,8\frac{{3572}}{{4641}}.\)

Так как А должно быть наименьшим и целым, то А = 9 млн. рублей.

Ответ: 9.