92В. Вклад планируется открыть на четыре года. Первоначальный вклад составляет целое число миллионов рублей. В конце каждого года банк увеличивает вклад на 20% по сравнению с его размером в начале года. Кроме этого, в начале третьего и четвёртого годов вкладчик ежегодно пополняет вклад на 5 млн рублей. Найдите наименьший размер первоначального вклада, при котором банк за четыре года начислит на вклад больше 12 млн рублей.

Ответ

ОТВЕТ: 9.

Решение

А – первоначальный вклад (в млн. руб); А – целое.  Срок кредита 4 года, под 20% годовых.

Год Сумма в начале года (млн. руб) Сумма в конце года (млн. руб)
1 \(A\) \(A \cdot 1,2\)
2 \(\)\(A \cdot 1,2\) \(A \cdot 1,2 \cdot 1.2\)
3 \(A \cdot {1,2^2} + 5\) \((A \cdot {1,2^2} + 5) \cdot 1,2\)
4 \((A \cdot {1,2^2} + 5) \cdot 1,2 + 5\) \(((A \cdot {1,2^2} + 5)1,2 + 5) \cdot 1,2\)

Так как банк за 4 года, должен начислить больше 12 млн. рублей ,то в конце четвёртого года сумма должна быть больше чем сумма положенная на вклад (это А+5+5 млн. руб.) и плюс к ней начисленные проценты (это 12 млн. рублей).

\(\left( {\left( {A \cdot {{1,2}^2} + 5} \right)1,2 + 5} \right)1,2\,\, > \,\,A + 5 + 5 + 12\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,A \cdot {1,2^4} + 5 \cdot {1,2^2} + 5 \cdot 1,2\,\, > \,\,A + 10 + 12\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \)

\( \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,2,0736A — A\,\,\, > \,\,22 — 6 — 7,2\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,1,0736A\,\,\, > \,\,8,8\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,A\,\,\, > \,\,\frac{{88000}}{{10736}}\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,A\,\, > \,\,8\frac{{12}}{{61}}.\)

Так как А должно быть наименьшим и целым, то А = 9 млн. рублей.

Ответ: 9.