93В. Вклад в размере 10 млн рублей планируется открыть на четыре года. В конце каждого года банк увеличивает вклад на 10% по сравнению с его размером в начале года. Кроме этого, в начале третьего и четвёртого годов вкладчик ежегодно пополняет вклад на x млн рублей, где x — целое число. Найдите наименьшее значение x, при котором банк за четыре года начислит на вклад больше 7 млн рублей.

Ответ

ОТВЕТ: 8.

Решение

А = 10 млн. рублей вклад сроком на 4 года, под 10% годовых.

Год Сумма в начале года (млн. руб) Сумма в конце года (млн. руб)
1 \(10\) \(10 \cdot 1,1\)
2 \(10 \cdot 1,1\) \(10 \cdot 1,1 \cdot 1,1\)
3 \(10 \cdot {1,1^2} + x\) \((10 \cdot {1,1^2} + x) \cdot 1,1\)
4 \((10 \cdot {1,1^2} + x) \cdot 1,1 + x\) \(((10 \cdot {1,1^2} + x) \cdot 1,1 + x) \cdot 1,1\)

Так как банк за 4 года должен начислить больше 7млн. рублей, то в конце  четвёртого года сумма должна быть больше чем сумма положенная на вклад (это 10+х+х млн. рублей) и плюс к ней начисленные проценты (это 7млн. рублей).

\(\left( {\left( {10 \cdot {{1,1}^2} + x} \right)1,1 + x} \right)1,1\,\,\, > \,\,10 + x + x + 7\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,10 \cdot {1,1^4} + {1,1^2}x + 1,1x\,\,\, > \,\,2x + 17\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \)

\( \Leftrightarrow \,\,\,\,\,2,31x — 2x\,\,\, > \,\,17 — 14,641\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,0,31x\,\,\, > \,\,2,359\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,x\,\, > \,\frac{{2359}}{{310}}\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,x\,\, > \,7\frac{{189}}{{310}}.\)

Так как х должен быть наименьшим и целым, то х = 8 млн. рублей.

Ответ: 8.