Пусть Инна Николаевна получила кредит сумма которого равна А под х% годовых. Следовательно, в конце каждого года остаток долга увеличивался в \(\frac{{100 + x}}{{100}} = t\) раз. Так как в конце первого и второго годов она возвращала в банк \(\frac{1}{9}\) от всей суммы, которую она должна была банку к этому времени, то ее долг оставался \(\frac{8}{9}\) от этой суммы.
| Год |
Долг в конце года до выплаты |
Выплата |
Остаток долга после выплаты |
| 1 |
\(At\) |
\(\frac{1}{9}At\) |
\(\frac{8}{9}At\) |
| 2 |
\(\frac{8}{9}A{t^2}\) |
\(\frac{1}{9} \cdot \frac{8}{9}A{t^2}\) |
\({\left( {\frac{8}{9}} \right)^2}A{t^2}\) |
| 3 |
\({\left( {\frac{8}{9}} \right)^2}A{t^3}\) |
\({\left( {\frac{8}{9}} \right)^2}A{t^3}\) |
0 |
По условию задачи третья выплата на 12,5% больше суммы кредита, то есть она равна 112,5% от А, то есть \(\frac{{112,5}}{{100}}A = 1,125A = 1\frac{1}{8}A = \frac{9}{8}A.\) Следовательно:
\({\left( {\frac{8}{9}} \right)^2} \cdot A{t^3} = \frac{{112,5}}{{100}}A\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,{\left( {\frac{8}{9}} \right)^2} \cdot A{t^3} = \frac{9}{8}A\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,{\left( {\frac{8}{9}} \right)^2}{t^3} = \frac{9}{8}\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,{t^3} = {\left( {\frac{9}{8}} \right)^3}\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,t = \frac{9}{8}.\)
\(\frac{{100 + x}}{{100}} = \frac{9}{8}\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,800 + 8x = 900\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,x = \frac{{100}}{8} = 12,5\% \,.\,\,\,\,\)
Ответ: 12,5.