Профиль №16. Задачи о вкладах и кредитах. Задача 99В

99В. Алина Алексеевна взяла в кредит 1,8 млн рублей на 36 месяцев. По договору Алина Алексеевна должна возвращать банку часть денег в конце каждого месяца. Каждый месяц общая сумма долга возрастает на 3%, а затем уменьшается на сумму, уплаченную Алиной Алексеевной банку в конце месяца. Суммы, выплачиваемые Алиной Алексеевной, подбираются так, чтобы сумма долга уменьшалась равномерно, то есть на одну и те же величину каждый месяц. На сколько рублей больше Алина Алексеевна вернет банку в течение первого года кредитования по сравнению с третьим годом?

Ответ

ОТВЕТ: 432 000.

Решение

Сумма долга уменьшается равномерно на \(\dfrac{{1,8}}{{36}} = 0,05\) млн рублей в месяц.

Месяц	Начисленные % (млн руб)	Остаток (млн руб)
1	\(1,8 \cdot \dfrac{3}{{100}}\)	1,75
2	\(\)\(1,75 \cdot \dfrac{3}{{100}}\)	1,7
…	…	…
12	\(1,25 \cdot \dfrac{3}{{100}}\)	1,2
……	…….	……
25	\(0,6 \cdot \dfrac{3}{{100}}\)	0,55
26	\(0,55 \cdot \dfrac{3}{{100}}\)	0,5
…	…	…
36	\(0,05 \cdot \dfrac{3}{{100}}\)	0

Сумма, выплаченная за первый год равна \(12 \cdot 0,05\) плюс проценты, начисленные за первые 12 месяцев:

\(12 \cdot 0,05 + 1,8 \cdot \dfrac{3}{{100}} + 1,75 \cdot \dfrac{3}{{100}} + … + 1,25 \cdot \dfrac{3}{{100}} = 0,6 + \dfrac{3}{{100}} \cdot \dfrac{{1,8 + 1,25}}{2} \cdot 12 = 0,6 + 0,549 = 1,149\)

Сумма, выплаченная за третий год равна \(12 \cdot 0,05\) плюс проценты, начисленные с 25–го по 36–й месяц:

\(12 \cdot 0,05 + 0,6 \cdot \dfrac{3}{{100}} + 0,55 \cdot \dfrac{3}{{100}} + … + 0,05 \cdot \dfrac{3}{{100}} = 0,6 + \dfrac{3}{{100}} \cdot \dfrac{{0,6 + 0,05}}{2} \cdot 12 = 0,6 + 0,117 = 0,717.\)

Следовательно, разница между первым и третьим годом: \(1,149 — 0,717 = 0,432\) млн рублей.

Ответ: 432 000.