99В. Алина Алексеевна взяла в кредит 1,8 млн. рублей на 36 месяцев. По договору Алина Алексеевна должна возвращать банку часть денег в конце каждого месяца. Каждый месяц общая сумма долга возрастает на 3%, а затем уменьшается на сумму, уплаченную Алиной Алексеевной банку в конце месяца. Суммы, выплачиваемые Алиной Алексеевной, подбираются так, чтобы сумма долга уменьшалась равномерно, то есть на одну и те же величину каждый месяц. На сколько рублей больше Алина Алексеевна вернет банку в течение первого года кредитования по сравнению с третьим годом?

Ответ

ОТВЕТ: 432 000.

Решение

Сумма долга уменьшается равномерно на \(\frac{{1,8}}{{36}} = 0,05\) млн. рублей в месяц.

Месяц Начисленные % (млн. руб) Остаток (млн. руб)
1 \(1,8 \cdot \frac{3}{{100}}\) 1,75
2 \(\)\(1,75 \cdot \frac{3}{{100}}\) 1,7
… … …
12 \(1,25 \cdot \frac{3}{{100}}\) 1,2
…… ……. ……
25 \(0,6 \cdot \frac{3}{{100}}\) 0,55
26 \(0,55 \cdot \frac{3}{{100}}\) 0,5
… … …
36 \(0,05 \cdot \frac{3}{{100}}\) 0

Сумма, выплаченная за первый год равна \(12 \cdot 0,05\) плюс проценты, начисленные за первые 12 месяцев:

\(12 \cdot 0,05 + 1,8 \cdot \frac{3}{{100}} + 1,75 \cdot \frac{3}{{100}} + … + 1,25 \cdot \frac{3}{{100}} = 0,6 + \frac{3}{{100}} \cdot \frac{{1,8 + 1,25}}{2} \cdot 12 = 0,6 + 0,549 = 1,149\)

Сумма, выплаченная за третий год равна \(12 \cdot 0,05\) плюс проценты, начисленные с 25–го по 36–й месяц:

\(12 \cdot 0,05 + 0,6 \cdot \frac{3}{{100}} + 0,55 \cdot \frac{3}{{100}} + … + 0,05 \cdot \frac{3}{{100}} = 0,6 + \frac{3}{{100}} \cdot \frac{{0,6 + 0,05}}{2} \cdot 12 = 0,6 + 0,117 = 0,717.\)

Следовательно, разница между первым и третьим годом:    \(1,149 — 0,717 = 0,432\) млн. рублей.

Ответ: 432 000.