1. В 1-е классы поступает 45 человек: 20 мальчиков и 25 девочек. Их распределили по двум классам: в одном должно получиться 22 человека, а в другом — 23. После распределения посчитали процент девочек в каждом классе и полученные числа сложили. Каким должно быть распределение по классам, чтобы полученная сумма была наибольшей?

Ответ

ОТВЕТ: В одном классе ― 22 девочки, в другом ― 3 девочки и 20 мальчиков.

Решение

Пусть в меньшем классе  x  девочек и  \(\left( {22-x} \right)\)  мальчиков.  Так как всего 20 мальчиков, то  \(x \in \left[ {2;22} \right].\)  Тогда в большем классе  \(\left( {25-x} \right)\)  девочек и  \(23-\left( {25-x} \right) = x-2\)  мальчиков.  Процент девочек в меньшем классе:  \(\frac{x}{{22}} \cdot 100.\)  Процент девочек в большем классе:  \(\frac{{25-x}}{{23}} \cdot 100.\)  Суммарная доля девочек в двух классах составит:

\(y = \frac{{x \cdot 100}}{{22}} + \frac{{\left( {25-x} \right)100}}{{23}}\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;y = 100 \cdot \left( {\frac{{23x + 22 \cdot 25-22x}}{{22 \cdot 23}}} \right)\;\;\;\, \Leftrightarrow \;\;\;\;y = \frac{{100x}}{{22 \cdot 23}} + \frac{{100 \cdot 25}}{{23}}.\) 

Полученная функция является линейной с положительным угловым коэффициентом  \(k = \frac{{100}}{{22 \cdot 23}}.\)  Следовательно, данная функция достигает своего наибольшего значения на отрезке  \(x \in \left[ {2;22} \right]\)  при  \(x = 22.\)

Значит, в меньшем классе должно быть 22 девочки и 0 мальчиков, а в большем – 3 девочки и 20 мальчиков.

Ответ:  в одном классе — 22 девочки, в другом — 3 девочки и 20 мальчиков.