ЕГЭ Профиль №16. Экономические задачи на оптимизацию. Задача 1math100admin44242023-10-07T17:53:14+03:00
1. В 1-е классы поступает 45 человек: 20 мальчиков и 25 девочек. Их распределили по двум классам: в одном должно получиться 22 человека, а в другом — 23. После распределения посчитали процент девочек в каждом классе и полученные числа сложили. Каким должно быть распределение по классам, чтобы полученная сумма была наибольшей?
Ответ
ОТВЕТ: В одном классе ― 22 девочки, в другом ― 3 девочки и 20 мальчиков.
Решение
Пусть в меньшем классе x девочек и \(\left( {22-x} \right)\) мальчиков. Так как всего 20 мальчиков, то \(x \in \left[ {2;22} \right].\) Тогда в большем классе \(\left( {25-x} \right)\) девочек и \(23-\left( {25-x} \right) = x-2\) мальчиков. Процент девочек в меньшем классе: \(\frac{x}{{22}} \cdot 100.\) Процент девочек в большем классе: \(\frac{{25-x}}{{23}} \cdot 100.\) Суммарная доля девочек в двух классах составит:
\(y = \frac{{x \cdot 100}}{{22}} + \frac{{\left( {25-x} \right)100}}{{23}}\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;y = 100 \cdot \left( {\frac{{23x + 22 \cdot 25-22x}}{{22 \cdot 23}}} \right)\;\;\;\, \Leftrightarrow \;\;\;\;y = \frac{{100x}}{{22 \cdot 23}} + \frac{{100 \cdot 25}}{{23}}.\)
Полученная функция является линейной с положительным угловым коэффициентом \(k = \frac{{100}}{{22 \cdot 23}}.\) Следовательно, данная функция достигает своего наибольшего значения на отрезке \(x \in \left[ {2;22} \right]\) при \(x = 22.\)
Значит, в меньшем классе должно быть 22 девочки и 0 мальчиков, а в большем – 3 девочки и 20 мальчиков.
Ответ: в одном классе — 22 девочки, в другом — 3 девочки и 20 мальчиков.