ЕГЭ Профиль №16. Экономические задачи на оптимизацию. Задача 1

1. В 1-е классы поступает 45 человек: 20 мальчиков и 25 девочек. Их распределили по двум классам: в одном должно получиться 22 человека, а в другом — 23. После распределения посчитали процент девочек в каждом классе и полученные числа сложили. Каким должно быть распределение по классам, чтобы полученная сумма была наибольшей?

Ответ

ОТВЕТ: В одном классе ― 22 девочки, в другом ― 3 девочки и 20 мальчиков.

Решение

Пусть в меньшем классе x девочек и \(\left( {22-x} \right)\) мальчиков. Так как всего 20 мальчиков, то \(x \in \left[ {2;22} \right].\) Тогда в большем классе \(\left( {25-x} \right)\) девочек и \(23-\left( {25-x} \right) = x-2\) мальчиков. Процент девочек в меньшем классе: \(\dfrac{x}{{22}} \cdot 100.\) Процент девочек в большем классе: \(\dfrac{{25-x}}{{23}} \cdot 100.\) Суммарная доля девочек в двух классах составит:

\(y = \dfrac{{x \cdot 100}}{{22}} + \dfrac{{\left( {25-x} \right)100}}{{23}}\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;y = 100 \cdot \left( {\dfrac{{23x + 22 \cdot 25-22x}}{{22 \cdot 23}}} \right)\;\;\;\, \Leftrightarrow \;\;\;\;y = \dfrac{{100x}}{{22 \cdot 23}} + \dfrac{{100 \cdot 25}}{{23}}.\)

Полученная функция является линейной с положительным угловым коэффициентом \(k = \dfrac{{100}}{{22 \cdot 23}}.\) Следовательно, данная функция достигает своего наибольшего значения на отрезке \(x \in \left[ {2;22} \right]\) при \(x = 22.\)

Значит, в меньшем классе должно быть 22 девочки и 0 мальчиков, а в большем – 3 девочки и 20 мальчиков.

Ответ: в одном классе — 22 девочки, в другом — 3 девочки и 20 мальчиков.