10. Федор является владельцем двух заводов в разных городах. На заводах производятся абсолютно одинаковые товары, но на заводе, расположенном во втором городе, используется более совершенное оборудование. В результате если рабочие на заводе, расположенном в первом городе, трудятся суммарно t2 часов в неделю, то за эту неделю они производят 3t единиц товара, а если рабочие на заводе, расположенном во втором городе, трудятся суммарно t2 часов в неделю, то за эту неделю они производят 4t единиц товара. За каждый час работы (на каждом из заводов) Федор платит рабочему 400 рублей. Федору нужно каждую неделю производить 225 единиц товара. Какую наименьшую сумму придётся тратить еженедельно на оплату труда рабочих?
Пусть \({x^2}\) часов рабочие трудятся на заводе, расположенном в первом городе, производя \(3x\) единиц товара, \({y^2}\) часов – во втором, производя \(4y\) единиц товара. Тогда общее количество единиц товара, произведенных на двух заводах: \(3x + 4y = 225,\) где \(x \in \left[ {0;75} \right],\;\;\;\;y \in \left[ {0;56\frac{1}{4}} \right].\)
Пусть z – сумма на оплату труда рабочих. Тогда: \(z = 400\left( {{x^2} + {y^2}} \right).\) Следовательно:
\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{3x + 4y = 225,\;\;\;}\\{z = 400\left( {{x^2} + {y^2}} \right)}\end{array}} \right.\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{y = \frac{{225}}{4}-\frac{3}{4}x,\;\;\,\;}\\{z = 400\left( {{x^2} + {y^2}} \right)}\end{array}} \right.\;\;\;\;\, \Leftrightarrow \;\;\;\;z = 400 \cdot \left( {{x^2} + {{\left( {\frac{{225}}{4}-\frac{3}{4}x} \right)}^2}} \right).\)
Требуется найти z наименьшее при \(x \in \left[ {0;75} \right].\) Найдём производную:
\(z’ = 400 \cdot \left( {2x-\frac{3}{4} \cdot 2 \cdot \left( {\frac{{225}}{4}-\frac{3}{4}x} \right)} \right) = 400 \cdot \left( {\frac{{25x}}{8}-\frac{{675}}{8}} \right) = 50 \cdot 25 \cdot \left( {x-27} \right).\)
Найдём нули производной: \(50 \cdot 25 \cdot \left( {x-27} \right) = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;x = 27.\)
Следовательно, \(x = 27\) – точка минимума, и значит z будет наименьшим при \(x = 27.\)
\(z\left( {16} \right) = 400 \cdot \left( {{{27}^2} + {{\left( {\frac{{225}}{4}-\frac{{3 \cdot 27}}{4}} \right)}^2}} \right) = 600 \cdot \left( {729 + 1296} \right) = 810000\) руб.
Ответ: 810000.