12. Производство x тыс. единиц продукции обходится в \(q = 0,5{x^2} + 2x + 5\) млн. рублей в год. При цене p тыс. рублей за единицу продукции годовая прибыль от продажи этой продукции (в млн рублей) составляет \(p\,x — q\). Завод выпускает продукцию в таком количестве, чтобы прибыль была наибольшей. При каком наименьшем значении p через четыре года суммарная прибыль составит не менее 52 млн рублей?

Ответ

ОТВЕТ: 8.

Решение

Прибыль за 1 год выражается формулой:  \(y = p\,x-q.\)  По условию задачи:  \(4y \ge 52\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;y \ge 13.\)  Тогда:

\(y = px-\left( {0,5{x^2} + 2x + 5} \right) \ge 13\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;px-0,5{x^2}-2x-5-13 \ge 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;{x^2}-2\left( {p-2} \right)x + 36 \le 0.\)

Последнее неравенство будет иметь решение, если  \(D \ge 0.\)

\(D = 4{\left( {p-2} \right)^2}-4 \cdot 36 \ge 0\;\;\,\; \Leftrightarrow \;\;\;\;{\left( {p-2} \right)^2} \ge 36\;\;\,\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{p-2 \le -6,}\\{p-1 \ge 6\,\;\;\;}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{p \le -4,}\\{p \ge 8.\;\;}\end{array}} \right.\)

Так как по условию  p  – цена за единицу продукции, то  \(p \ge 8.\)

Следовательно,  наименьшее значение:  \(p = 8\) тыс. руб.

Ответ:  8.