13. Макар является владельцем двух заводов в разных городах. На заводах производится абсолютно одинаковые товары при использовании одинаковых технологий. Если рабочие на одном из заводов трудятся суммарно t2 часов в неделю, то за эту неделю они производят t единиц товара. За каждый час работы на заводе, расположенном в первом городе, Макар платит рабочему 300 рублей, а на заводе, расположенном во втором городе,—200 рублей. Макар готов выделять 30 000 000 рублей в неделю на оплату труда рабочих. Какое наибольшее количество единиц товара можно произвести за неделю на этих двух заводах?
Пусть \({x^2}\) часов рабочие трудятся на заводе, расположенном в первом городе, производя x единиц товара, \({y^2}\) часов – во втором, производя y единиц товара. Тогда сумма оплаты труда рабочих за неделю: \(300{x^2} + 200{y^2} = 30000000,\) где \(x \in \left[ {0;100\sqrt {10} } \right],\;\;\;\;y \in \left[ {0;100\sqrt {15} } \right].\)
Пусть z – общее количество единиц товара. Тогда: \(z = x + y.\) Следовательно:
\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{z = x + y,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;}\\{300{x^2} + 200{y^2} = 30000000}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{z = x + y,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;}\\{y = \sqrt {150000-\frac{{3{x^2}}}{2}} }\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;z = x + \sqrt {150000-\frac{{3{x^2}}}{2}} .\)
Требуется найти z наибольшее при \(x \in \left[ {0;100\sqrt {10} } \right].\) Найдём производную:
\(z’ = 1-\frac{{3x}}{{2\sqrt {150000-\frac{{3{x^2}}}{2}} }}\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;z’ = \frac{{\sqrt {600000-6{x^2}} -3x}}{{\sqrt {600000-6{x^2}} }}.\)
Найдём нули производной:
\(\frac{{\sqrt {600000-6{x^2}} -3x}}{{\sqrt {600000-6{x^2}} }} = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\sqrt {600000-6{x^2}} = 3x\;\;\;\; \Leftrightarrow \)
\( \Leftrightarrow \;\;\;\;600000-6{x^2} = 9{x^2}\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;{x^2} = 40000\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;x = 200.\)
Следовательно, \(x = 200\) – точка максимума, и значит z будет наибольшим при \(x = 200.\)
\(z\left( {200} \right) = 200 + \sqrt {150000-\frac{{3 \cdot 40000}}{2}} = 200 + \sqrt {90000} = 200 + 300 = 500\) единиц товара.
Ответ: 500.