Пусть \({x^2}\) часов рабочие трудятся на заводе, расположенном в первом городе, производя x единиц товара, \({y^2}\) часов – во втором, производя y единиц товара. Тогда сумма оплаты труда рабочих за неделю:
\(400{x^2} + 300{y^2} = 84000000,\) где \(x \in \left[ {0;100\sqrt {21} } \right],\;\;\;\;y \in \left[ {0;200\sqrt 7 } \right].\)
Пусть z – общее количество единиц товара. Тогда: \(z = x + y.\) Следовательно:
\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{z = x + y,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;}\\{400{x^2} + 300{y^2} = 84000000}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{z = x + y,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\,\;\;\;\;\;}\\{y = \sqrt {280000-\dfrac{{4{x^2}}}{3}} }\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;z = x + \sqrt {280000-\dfrac{{4{x^2}}}{3}} .\)
Требуется найти z наибольшее при \(x \in \left[ {0;100\sqrt {21} } \right].\) Найдём производную:
\(z’ = 1-\dfrac{{4x}}{{3\sqrt {280000-\dfrac{{4{x^2}}}{3}} }} = \dfrac{{\sqrt {2520000-12{x^2}} -4x}}{{\sqrt {2520000-12{x^2}} }}.\)
Найдём нули производной:
\(\dfrac{{\sqrt {2520000-12{x^2}} -4x}}{{\sqrt {2520000-12{x^2}} }} = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\sqrt {2520000-12{x^2}} = 4x\;\;\;\; \Leftrightarrow \)
\( \Leftrightarrow \;\;\;\;2520000-12{x^2} = 16{x^2}\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;{x^2} = 90000\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;x = 300.\)
Следовательно, \(x = 300\) – точка максимума, и значит z будет наибольшим при \(x = 300.\)
\(z\left( {300} \right) = 300 + \sqrt {280000-\dfrac{{4 \cdot 90000}}{3}} = 300 + \sqrt {160000} = 300 + 400 = 700\) единиц товара.
Ответ: 700.