16. В двух областях есть по 100 рабочих, каждый из которых готов трудиться по 10 часов в сутки на добыче алюминия или никеля. В первой области один рабочий за час добывает 0,3 кг алюминия или 0,1 кг никеля. Во второй области для добычи x кг алюминия в день требуется x2 человеко-часов труда, а для добычи y кг никеля в день требуется y2 человеко-часов труда. Обе области поставляют добытый металл на завод, где для нужд промышленности производится сплав алюминия и никеля, в котором на 1 кг алюминия приходится 1 кг никеля. При этом области договариваются между собой вести добычу металлов так, чтобы завод мог произвести наибольшее количество сплава. Сколько килограммов сплава при таких условиях ежедневно сможет произвести завод?
В каждой области рабочие трудятся по \(100 \cdot 10 = 1000\) часов.
Пусть в первой области будет затрачено на добычу алюминия a человеко-часов, где а \({b^2}\) часов – на добычу b кг алюминия во второй области, где \({b^2} \in \left[ {0;1000} \right],\) тогда \(b \in \left[ {0;10\sqrt {10} } \right].\)
Так как на 1 кг алюминия приходится 1 кг никеля, то общие массы алюминия и никеля должны быть равны:
\(0,3a + b = 0,1\left( {1000-a} \right) + \sqrt {1000-{b^2}} \;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;0,2a = 50-\frac{b}{2} + \frac{1}{2}\sqrt {1000-{b^2}} .\)
Пусть z кг – масса сплава. Тогда:
\(z = 0,3a + b + 0,1\left( {1000-a} \right) + \sqrt {1000-{b^2}} \;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;z = 0,2a + b + 100 + \sqrt {1000-{b^2}} .\)
\(\left\{ \begin{array}{l}0,2a = 50-\frac{b}{2} + \frac{1}{2}\sqrt {1000-{b^2}} ,\\z = 0,2a + b + 100 + \sqrt {1000-{b^2}} \end{array} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \)
\( \Leftrightarrow \;\;\;\;z = 50-\frac{b}{2} + \frac{1}{2}\sqrt {1000-{b^2}} + b + 100 + \sqrt {1000-{b^2}} \;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;z = 150 + \frac{b}{2} + \frac{3}{2}\sqrt {1000-{b^2}} .\)
Требуется найти z наибольшее при \(b \in \left[ {0;10\sqrt {10} } \right].\) Найдём производную:
\(z’ = \frac{1}{2}-\frac{{3b}}{{2\sqrt {1000-{b^2}} }} = \frac{{\sqrt {1000-{b^2}} -3b}}{{2\sqrt {1000-{b^2}} }}.\)
Найдём нули производной:
\(\frac{{\sqrt {1000-{b^2}} -3b}}{{2\sqrt {1000-{b^2}} }} = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\sqrt {1000-{b^2}} = 3b\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;1000-{b^2} = 9{b^2}\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;{b^2} = 100\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;b = 10.\)
Следовательно, \(b = 10\) – точка максимума, и значит z будет наибольшим при \(b = 10.\)
\(z\left( {10} \right) = 150 + \frac{{10}}{2} + \frac{3}{2}\sqrt {1000-100} = 150 + 5 + 45 = 200\) кг.
Ответ: 200.