17. Фёдор является владельцем двух заводов в разных городах. На заводах производятся абсолютно одинаковые изделия, но на заводе, расположенном во втором городе, используется более совершенное оборудование. В результате если рабочие на заводе, расположенном в первом городе, трудятся суммарно 25t3 часов в неделю, то за эту неделю они производят t изделий, и если рабочие на заводе, расположенном во втором городе, трудятся суммарно t3 часов в неделю, то они производят t изделий. За каждый час работы (на каждом из заводов) Фёдор платит рабочему 360 рублей. Необходимо, чтобы за неделю суммарно производилось 30 изделий. Какую наименьшую сумму (в млн рублей) придётся тратить владельцу заводов еженедельно на оплату труда рабочих?
Пусть \(25{x^3}\) часов рабочие трудятся на заводе, расположенном в первом городе, производя x единиц товара, где \(x \in \left[ {0;30} \right],\) \({y^3}\) часов – во втором, производя y единиц товара, где \(y \in \left[ {0;30} \right].\) Тогда общее количество единиц товара, произведенных на двух заводах за неделю: \(x + y = 30.\)
Пусть z – сумма на оплату труда. Тогда: \(z = 360\left( {25{x^3} + {y^3}} \right).\) Следовательно:
\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x + y = 30,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\,\;\;}\\{z = 360\left( {25{x^3} + {y^3}} \right)}\end{array}} \right.\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{y = 30-x,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\,\;\;}\\{z = 360\left( {25{x^3} + {y^3}} \right)}\end{array}} \right.\;\;\;\;\, \Leftrightarrow \;\;\;\;z = 360\left( {25{x^3} + {{\left( {30-x} \right)}^3}} \right).\)
Требуется найти z наименьшее при \(x \in \left[ {0;30} \right].\)
Найдём производную: \(z’ = 360\left( {75{x^2}-3{{\left( {30-x} \right)}^2}} \right).\)
Найдём нули производной:
\(360\left( {75{x^2}-3{{\left( {30-x} \right)}^2}} \right) = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;25{x^2}-{\left( {30-x} \right)^2} = 0\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\left( {5x-30 + x} \right)\left( {5x + 30-x} \right) = 0\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \)
\( \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\left( {6x-30} \right)\left( {4x + 30} \right) = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 5,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\,\;\;\;\;\;\;}\\{x = -7,5 \notin \left[ {0;30} \right].}\end{array}} \right.\)
Следовательно, \(x = 5\) – точка минимума, и значит z будет наименьшим при \(x = 5.\)
\(z\left( 5 \right) = 360 \cdot \left( {25 \cdot 125 + {{25}^3}} \right) = 6750000 = 6,75\) млн руб.
Ответ: 6,75.