Пусть \(16{x^3}\) часов рабочие трудятся на первом заводе, производя x единиц товара, где \(x \in \left[ {0;20} \right],\) \({y^3}\) часов – на втором, производя y единиц товара, где \(y \in \left[ {0;20} \right].\) Тогда общее количество единиц товара, произведенных на двух заводах за неделю: \(x + y = 20.\)
Пусть z – сумма на оплату труда. Тогда: \(z = 250\left( {16{x^3} + {y^3}} \right).\) Следовательно:
\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x + y = 20,\;\;\;\;\;\;\;\,\;\;\,\;\;}\\{z = 250\left( {16{x^3} + {y^3}} \right)}\end{array}} \right.\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{y = 20-x,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\,\;\;}\\{z = 250\left( {16{x^3} + {y^3}} \right)}\end{array}} \right.\;\;\;\;\, \Leftrightarrow \;\;\;\;z = 250\left( {16{x^3} + {{\left( {20-x} \right)}^3}} \right).\)
Требуется найти z наименьшее при \(x \in \left[ {0;20} \right].\) Найдём производную:
Найдём производную: \(z’ = 250\left( {48{x^2}-3{{\left( {20-x} \right)}^2}} \right).\)
Найдём нули производной:
\(250\left( {48{x^2}-3{{\left( {20-x} \right)}^2}} \right) = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;16{x^2}-{\left( {20-x} \right)^2} = 0\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\left( {4x-20 + x} \right)\left( {4x + 20-x} \right) = 0\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \)
\( \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( {5x-20} \right)\left( {3x + 20} \right) = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 4,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\,\;\;\;\;\;\;}\\{x = -\dfrac{{20}}{3} \notin \left[ {0;20} \right].}\end{array}} \right.\)
Следовательно, \(x = 4\) – точка минимума, и значит z будет наименьшим при \(x = 4.\)
\(z\left( 4 \right) = 250 \cdot \left( {16 \cdot 64 \cdot + {{16}^3}} \right) = 1280000 = 1,28\) млн руб.
Ответ: 1,28.