19. В распоряжении прораба имеется бригада рабочих в составе 25 человек. Их нужно распределить на два объекта. Если на первом объекте работает t человек, то их суточная зарплата составляет 3t2 д. е. Если на втором объекте работает t человек, то их суточная зарплата составляет t2 д. е. Как нужно распределить на эти объекты рабочих бригады, чтобы выплаты на их суточную зарплату оказались наименьшими? Сколько д. е. при таком распределении придётся выплатить рабочим?
Пусть x рабочих, где \(x \in \left[ {0;25} \right],\) трудится на пером объекте, зарабатывая \(3{x^2}\) д. е. в день, следовательно \(\left( {25-x} \right)\) рабочих трудится на втором, зарабатывая \({\left( {25-x} \right)^2}\) д. е. в день. Пусть y – выплаты рабочим за сутки. Тогда: \(y = 3{x^2} + {\left( {25-x} \right)^2}\).
Требуется найти y наименьшее при \(x \in \left[ {0;25} \right].\)
Найдём производную: \(y’ = 6x-2\left( {25-x} \right).\)
Найдём нули производной:
\(y’ = 6x-2\left( {25-x} \right) = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;6x-50 + 2x = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;x = \frac{{25}}{4} = 6\frac{1}{4}.\)
Следовательно, \(x = 6\frac{1}{4}\) – точка минимума. Так как \(x \in N\), то y будет наименьшим при \(x = 6\) или \(x = 7.\) Найдём y при \(x = 6\) и \(x = 7:\)
\(y\left( 6 \right) = 3 \cdot 36 + {19^2} = 469,\;\;\;\;y\left( 7 \right) = 3 \cdot 49 + {18^2} = 471.\)
Следовательно, y будет наименьшим при \(x = 6.\)
Ответ: 6 рабочих на 1-й объект, 19 рабочих на 2-й объект, зарплата 469 д. е.