2. В 1-е классы поступает 43 человека: 23 мальчика и 20 девочек. Их распределили по двум классам: в одном должно получиться 22 человека, а в другом — 21. После распределения посчитали процент мальчиков в каждом классе и полученные числа сложили. Каким должно быть распределение по классам, чтобы полученная сумма была наибольшей?

Ответ

ОТВЕТ: В одном классе ― 21 мальчик, в другом ― 20 девочек и 2 мальчика.

Решение

Пусть в меньшем классе  x  мальчиков и  \(\left( {21-x} \right)\)  девочек.  Так как всего 20 девочек, то  \(x \in \left[ {1;21} \right].\)  Тогда в большем классе  \(\left( {23-x} \right)\)  мальчиков  и  \(22-\left( {23-x} \right) = x-1\)  девочек.  Процент мальчиков в меньшем классе:  \(\frac{x}{{21}} \cdot 100.\)

Процент мальчиков в большем классе:  \(\frac{{23-x}}{{22}} \cdot 100.\)  Суммарная доля мальчиков в двух классах составит:

\(y = \frac{{x \cdot 100}}{{21}} + \frac{{\left( {23-x} \right)100}}{{22}}\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;y = 100 \cdot \left( {\frac{{22x + 21 \cdot 23-21x}}{{21 \cdot 22}}} \right)\;\;\;\, \Leftrightarrow \;\;\;\;y = \frac{{100x}}{{21 \cdot 22}} + \frac{{100 \cdot 23}}{{22}}.\) 

Полученная функция является линейной с положительным угловым коэффициентом  \(k = \frac{{100}}{{21 \cdot 22}}.\)  Следовательно, данная функция достигает своего наибольшего значения на отрезке  \(x \in \left[ {1;21} \right]\)  при  \(x = 21.\)

Значит, в меньшем классе должно быть 0 девочек и 21 мальчик, а в большем – 20 девочек и 2 мальчика.

Ответ:  в одном классе — 21 мальчик, в другом — 20 девочек и 2 мальчика.