21 (ЕГЭ 2025). Строительство нового завода стоит 78 млн рублей. Затраты на производство x тыс. ед. продукции на таком заводе равны \(0,5{x^2} + 2x + 6\) млн рублей в год. Если продукцию завода продать по цене p тыс. рублей за единицу, то прибыль фирмы (в млн рублей) за один год составит \(p\,x — \left( {0,5{x^2} + 2x + 6} \right)\). Когда завод будет построен, фирма будет выпускать продукцию в таком количестве, чтобы прибыль была наибольшей. При каком наименьшем значении p строительство завода окупится не более чем за 3 года?

Ответ

ОТВЕТ: 10.

Решение

Прибыль за 1 год выражается формулой:  \(y = px-\left( {0,5{x^2} + 2x + 6} \right).\)  Для того чтобы завод окупился не более чем за 3 года, необходимо, чтобы:  \(3y \ge 78\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;y \ge 26.\)  Тогда:

  \(px-\left( {0,5{x^2} + 2x + 6} \right) \ge 26\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;px-0,5{x^2}-2x-6 \ge 26\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;{x^2} + 2\left( {2-p} \right)x + 64 \le 0.\)

Последнее неравенство будет иметь решение, если  \(D \ge 0.\)

\(D = 4{\left( {2-p} \right)^2}-4 \cdot 64 \ge 0\;\;\,\; \Leftrightarrow \;\;\;\;{\left( {p-2} \right)^2} \ge 64\;\;\,\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{p-2 \le -8,}\\{p-2 \ge 8\;\;\;}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{p \le -6,}\\{p \ge 10.\,}\end{array}} \right.\)

Так как по условию  p  – цена за единицу продукции, то  \(p \ge 10.\)  Следовательно,  наименьшее значение:  \(p = 10\)  тыс. руб.

Ответ:  10.