23. Производство некоторого товара облагалось налогом в размере t0 рублей за единицу товара. После того как государство, стремясь нарастить сумму налоговых поступлений, увеличило налог вдвое (до 2 t0 рублей за единицу товара), сумма налоговых поступлений не изменилась. На сколько процентов государству следует изменить налог после такого увеличения, чтобы добиться максимальных налоговых поступлений, если известно, что при налоге, равном t рублей за единицу товара, объём производства составляет 10 000 – 2 t единиц и это число положительно?

Ответ

ОТВЕТ: 25.

Решение

Первоначальные налоговые поступления составляли: \({t_0}\left( {10000-2{t_0}} \right),  {\rm{ }}{t_0} \in \left( {0;5000} \right).\)

После увеличения налога вдвое поступления составили:   \(2{t_0}\left( {10000-4{t_0}} \right).\)

По условию задачи сумма налоговых поступлений не изменилась. Следовательно:

\({t_0}\left( {10000-2{t_0}} \right) = 2{t_0}\left( {10000-4{t_0}} \right)\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;{t_0}\left( {10000-6{t_0}} \right) = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{t_0} = 0 \notin \left( {0;5000} \right),}\\{{t_0} = \frac{{5000}}{3}.\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;}\end{array}} \right.\)

Следовательно, первоначальный налог составлял:  \({t_0} = \frac{{5000}}{3}\)  руб.

Пусть  y  – налоговые поступления. Тогда:  \(y = t\left( {10000-2t} \right).\)

Требуется найти  y  наибольшее при  \(t \in \left( {0;5000} \right).\)

\(y = t\left( {10000-2t} \right)\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;y = -2{t^2} + 10000t.\)

Графиком полученной функции является парабола, ветви которой направлены вниз. Следовательно, её наибольшее значение будет в вершине: \({t_B} = -\frac{{10000}}{{-4}} = 2500.\)

Значит,  y  будет наибольшим при  \(t = 2500\).

Найдём, сколько процентов составляет  \(t = 2500\)  от увеличенного налога, равного  \(\frac{{10000}}{3}:\)  \(\frac{{2500 \cdot 100\%  \cdot 3}}{{10000}} = 75\% .\)

Следовательно, для максимальных налоговых поступлений увеличенный налог необходимо уменьшить на  \(100\% -75\%  = 25\% .\)

Ответ:  25%.