Первоначальные налоговые поступления составляли: \({t_0}\left( {10000-2{t_0}} \right),\) где \({t_0} \in \left( {0;5000} \right).\)
После уменьшения налога вдвое поступления составили: \(\dfrac{{{t_0}}}{2}\left( {10000-{t_0}} \right).\) По условию задачи сумма налоговых поступлений не изменилась. Следовательно:
\({t_0}\left( {10000-2{t_0}} \right) = \dfrac{{{t_0}}}{2}\left( {10000-{t_0}} \right)\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;{t_0}\left( {10000-3{t_0}} \right) = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{t_0} = 0 \notin \left( {0;5000} \right),}\\{{t_0} = \dfrac{{10000}}{3}.\;\;\;\;\;\;\;\;\;}\end{array}} \right.\)
Следовательно, первоначальный налог составлял: \({t_0} = \dfrac{{10000}}{3}\) руб.
Пусть y – налоговые поступления. Тогда: \(y = t\left( {10000-2t} \right).\)
Требуется найти y наибольшее при \(t \in \left( {0;5000} \right).\)
\(y = t\left( {10000-2t} \right)\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;y = -2{t^2} + 10000t.\)
Графиком полученной функции является парабола, ветви которой направлены вниз. Следовательно, её наибольшее значение будет в вершине. \({t_B} = -\dfrac{{10000}}{{-4}} = 2500.\) Значит, y будет наибольшим при \(t = 2500\).
Найдём, сколько процентов составляет \(t = 2500\) от уменьшенного налога, равного \(\dfrac{{5000}}{3}:\) \(\dfrac{{2500 \cdot 100\% \cdot 3}}{{5000}} = 150\% .\)
Следовательно, для максимальных налоговых поступлений уменьшенный налог необходимо увеличить на \(150\% -100\% = 50\% .\)
Ответ: 50%.