24. Производство некоторого товара облагалось налогом в размере t0 рублей за единицу товара. После того как государство, стремясь нарастить сумму налоговых поступлений за счёт увеличения производства товара, уменьшило налог вдвое (до \(\dfrac{{{t_0}}}{2}\) рублей за единицу товара), сумма налоговых поступлений не изменилась. На сколько процентов государству следует изменить налог после такого уменьшения, чтобы добиться максимальных налоговых поступлений, если известно, что при налоге, равном t рублей за единицу товара, объём производства составляет 10 000 – 2 t единиц и это число положительно?

Ответ

ОТВЕТ: 50.

Решение

Первоначальные налоговые поступления составляли: \({t_0}\left( {10000-2{t_0}} \right),\)   где   \({t_0} \in \left( {0;5000} \right).\)

После уменьшения налога вдвое поступления составили:  \(\dfrac{{{t_0}}}{2}\left( {10000-{t_0}} \right).\)  По условию задачи сумма налоговых поступлений не изменилась. Следовательно:

\({t_0}\left( {10000-2{t_0}} \right) = \dfrac{{{t_0}}}{2}\left( {10000-{t_0}} \right)\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;{t_0}\left( {10000-3{t_0}} \right) = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{t_0} = 0 \notin \left( {0;5000} \right),}\\{{t_0} = \dfrac{{10000}}{3}.\;\;\;\;\;\;\;\;\;}\end{array}} \right.\)

Следовательно, первоначальный налог составлял:  \({t_0} = \dfrac{{10000}}{3}\)  руб.

Пусть  y – налоговые поступления. Тогда:  \(y = t\left( {10000-2t} \right).\)

Требуется найти  y  наибольшее при  \(t \in \left( {0;5000} \right).\)

\(y = t\left( {10000-2t} \right)\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;y = -2{t^2} + 10000t.\)

Графиком полученной функции является парабола, ветви которой направлены вниз. Следовательно, её наибольшее значение будет в вершине. \({t_B} = -\dfrac{{10000}}{{-4}} = 2500.\)  Значит,  y  будет наибольшим при  \(t = 2500\).

Найдём, сколько процентов составляет  \(t = 2500\)  от уменьшенного налога, равного  \(\dfrac{{5000}}{3}:\)  \(\dfrac{{2500 \cdot 100\%  \cdot 3}}{{5000}} = 150\% .\)

Следовательно, для максимальных налоговых поступлений уменьшенный налог необходимо увеличить на  \(150\% -100\%  = 50\% .\)

Ответ: 50%.