26. Пенсионный фонд владеет акциями, цена которых к концу года t становится равной t2 тыс. руб. (т. е. к концу первого года они стоят 1 тыс. руб., к концу второго — 4 тыс. руб. и т. д.), в течение 30 лет. В конце любого года можно продать акции по их рыночной цене на конец года и положить вырученные деньги в банк под 20% годовых. В конце какого года нужно продать акции, чтобы прибыль была максимальной?
Определим прибыль в процентах по сравнению с предыдущим годом, когда деньги были вложены в акции. Так как к концу года t стоимость акций составляет \({t^2}\) тыс. руб., а к концу \(\left( {t + 1} \right)\) года – \({\left( {t + 1} \right)^2}\) тыс. руб., то прибыль в процентах составит: \(y = \frac{{{{\left( {t + 1} \right)}^2} \cdot 100\% }}{{{t^2}}}-100\% = \frac{{2t + 1}}{{{t^2}}} \cdot 100\% .\)
Исследуем эту функцию на монотонность. Найдём производную:
\(y’ = \frac{{2{t^2}-4{t^2}-2t}}{{{t^4}}} \cdot 100\% = \frac{{-2t-2}}{{{t^3}}} \cdot 100\% .\)
Найдём нули производной: \(\frac{{-2t-2}}{{{t^3}}} \cdot 100\% = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;-2t-2 = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;t = -1.\) Проверим знаки производной при \(t \ge 1:\)
Следовательно, функция \(y = \frac{{2t + 1}}{{{t^2}}} \cdot 100\% \) является убывающей, поэтому прибыль в процентах в акциях с каждым годом становится меньше.
Определим, когда прибыль в акциях станет меньше 20%:
\(\frac{{2t + 1}}{{{t^2}}} \cdot 100\% < 20\% \left| { \cdot {t^2} > 0\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;} \right.{t^2}-10t-5 > 0.\)
Найдём нули полученного неравенства: \({t^2}-10t-5 = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{t_1} = 5-\sqrt {30} < 0,}\\{{t_2} = 5 + \sqrt {30} .\;\;\;\;\;}\end{array}} \right.\)
Проверим знаки последнего неравенства при \(t \ge 1:\)
Значит, \(t \in \left( {5 + \sqrt {30} ;\infty } \right).\)
Так как \(5 < \sqrt {30} < 6\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;10 < 5 + \sqrt {20} < 11,\) то акции надо продать в конце 11-ого года.
Ответ: 11.