ЕГЭ Профиль №16. Экономические задачи на оптимизацию. Задача 27math100admin44242023-10-08T09:12:29+03:00
27. Пенсионный фонд владеет ценными бумагами, которые стоят t2 тыс. рублей в конце года \(t\;\;\left( {t = 1,\;2,\;3…} \right)\). В конце любого года пенсионный фонд может продать ценные бумаги и положить деньги на счёт в банке, при этом в конце каждого следующего года сумма на счёте будет увеличиваться в \(1 + r\) раз. Пенсионный фонд хочет продать ценные бумаги в конце такого года, чтобы в конце двадцать пятого года сумма на его счёте была наибольшей. Расчёты показали, что для этого ценные бумаги нужно продавать строго в конце двадцать первого года. При каких положительных значениях r это возможно?
Ответ
ОТВЕТ: \(\left( {\frac{{43}}{{441}};\frac{{41}}{{400}}} \right)\)
Решение
Определим прибыль в процентах по сравнению с предыдущим годом, когда деньги были вложены в акции. Так как к концу года t стоимость акций составляет \({t^2}\) тыс. руб., а к концу \(\left( {t + 1} \right)\) года – \({\left( {t + 1} \right)^2}\) тыс. руб., то прибыль в процентах составит: \(y = \frac{{{{\left( {t + 1} \right)}^2} \cdot 100\% }}{{{t^2}}}-100\% = \frac{{{{\left( {t + 1} \right)}^2}-{t^2}}}{{{t^2}}} \cdot 100\% = \frac{{2t + 1}}{{{t^2}}} \cdot 100\% = \left( {\frac{2}{t} + \frac{1}{{{t^2}}}} \right) \cdot 100\% .\)
Полученная функция является убывающей при \(t > 0.\) Следовательно, прибыль в процентах в ценных бумагах с каждым годом становится меньше.
В конце 20-ого года цена акций 400 тыс. руб., а в конце 21-ого года – 441 тыс. руб. Так как ценные бумаги нужно продать строго в конце 21-ого года, то:
\(\left\{ \begin{array}{l}441\left( {1 + r} \right) > 484\\400\left( {1 + r} \right) < 441\end{array} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ \begin{array}{l}r > \frac{{43}}{{441}}\\r < \frac{{41}}{{400}}\end{array} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;r \in \left( {\frac{{43}}{{441}};\frac{{41}}{{400}}} \right).\)
Ответ: \(\left( {\frac{{43}}{{441}};\frac{{41}}{{400}}} \right).\)