ЕГЭ Профиль №16. Экономические задачи на оптимизацию. Задача 27 (ЕГЭ 2017)

27 (ЕГЭ 2017). Пенсионный фонд владеет ценными бумагами, которые стоят t² тыс. рублей в конце года \(t\;\;\left( {t = 1,\;2,\;3…} \right)\). В конце любого года пенсионный фонд может продать ценные бумаги и положить деньги на счёт в банке, при этом в конце каждого следующего года сумма на счёте будет увеличиваться в \(1 + r\) раз. Пенсионный фонд хочет продать ценные бумаги в конце такого года, чтобы в конце двадцать пятого года сумма на его счёте была наибольшей. Расчёты показали, что для этого ценные бумаги нужно продавать строго в конце двадцать первого года. При каких положительных значениях r это возможно?

Ответ

ОТВЕТ: \(\left( {\dfrac{{43}}{{441}};\dfrac{{41}}{{400}}} \right)\)

Решение

Определим прибыль в процентах по сравнению с предыдущим годом, когда деньги были вложены в акции. Так как к концу года t стоимость акций составляет \({t^2}\) тыс. руб., а к концу \(\left( {t + 1} \right)\) года – \({\left( {t + 1} \right)^2}\) тыс. руб., то прибыль в процентах составит:

\(y = \dfrac{{{{\left( {t + 1} \right)}^2} \cdot 100\% }}{{{t^2}}}-100\% = \dfrac{{{{\left( {t + 1} \right)}^2}-{t^2}}}{{{t^2}}} \cdot 100\% = \dfrac{{2t + 1}}{{{t^2}}} \cdot 100\% = \left( {\dfrac{2}{t} + \dfrac{1}{{{t^2}}}} \right) \cdot 100\% .\)

Полученная функция является убывающей при \(t > 0.\) Следовательно, прибыль в процентах в ценных бумагах с каждым годом становится меньше.

В конце 20-ого года цена акций 400 тыс. руб., а в конце 21-ого года – 441 тыс. руб. Так как ценные бумаги нужно продать строго в конце 21-ого года, то:

\(\left\{ \begin{array}{l}441\left( {1 + r} \right) > 484\\400\left( {1 + r} \right) < 441\end{array} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ \begin{array}{l}r > \dfrac{{43}}{{441}}\\r < \dfrac{{41}}{{400}}\end{array} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;r \in \left( {\dfrac{{43}}{{441}};\dfrac{{41}}{{400}}} \right).\)

Ответ: \(\left( {\dfrac{{43}}{{441}};\dfrac{{41}}{{400}}} \right).\)