ЕГЭ Профиль №16. Экономические задачи на оптимизацию. Задача 28math100admin44242023-10-08T09:12:49+03:00
28. Пенсионный фонд владеет ценными бумагами, которые стоят 10 t тыс. рублей в конце года \(t\;\;\left( {t = 1,\;2,\;3…} \right)\). В конце любого года пенсионный фонд может продать ценные бумаги и положить деньги на счёт в банке, при этом в конце каждого следующего года сумма на счёте будет увеличиваться в \(1 + r\) раз. Пенсионный фонд хочет продать ценные бумаги в конце такого года, чтобы в конце двадцать пятого года сумма на его счёте была наибольшей. Расчёты показали, что для этого ценные бумаги нужно продавать строго в конце одиннадцатого года. При каких положительных значениях r это возможно?
Ответ
ОТВЕТ: \(\left( {\frac{1}{{11}};\frac{1}{{10}}} \right)\).
Решение
Определим прибыль в процентах по сравнению с предыдущим годом, когда деньги были вложены в акции. Так как к концу года t стоимость акций составляет \(10t\) тыс. руб., а к концу \(\left( {t + 1} \right)\) года – \(10\left( {t + 1} \right)\) тыс. руб., то прибыль в процентах составит: \(y = \frac{{10\left( {t + 1} \right) \cdot 100\% }}{{10t}}-100\% = \frac{1}{t} \cdot 100\% .\)
Полученная функция является убывающей при \(t > 0.\) Следовательно, прибыль в процентах в ценных бумагах с каждым годом становится меньше. В конце 10-ого года цена акций 100 тыс. руб., а в конце 11-ого года – 110 тыс. руб. Так как ценные бумаги нужно продать строго в конце 11-ого года, то:
\(\left\{ \begin{array}{l}110\left( {1 + r} \right) > 120\\100\left( {1 + r} \right) < 110\end{array} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ \begin{array}{l}r > \frac{1}{{11}}\\r < \frac{1}{{10}}\end{array} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;r \in \left( {\frac{1}{{11}};\frac{1}{{10}}} \right).\)
Ответ: \(\left( {\frac{1}{{11}};\frac{1}{{10}}} \right).\)