29. Зависимость количества Q (в шт., \(0 \leqslant Q \leqslant 20\;000\)) купленного у фирмы товара от цены P (в руб. за шт.) выражается формулой \(Q = 20\;000 — P\). Затраты на производство Q единиц товара составляют \(6\;000Q + 4\;000\;000\) рублей. Кроме затрат на производство, фирма должна платить налог t рублей \(\left( {0 < t < 10\;000} \right)\) с каждой произведённой единицы товара. Таким образом, прибыль фирмы составляет \(PQ — 6\;000Q — 4\;000\;000 — t\,Q\) рублей, а общая сумма налогов, собранных государством, равна \(t\,Q\) рублей. Фирма производит такое количество товара, при котором её прибыль максимальна. При каком значении t общая сумма налогов, собранных государством, будет максимальной?

Ответ

ОТВЕТ: 7 000.

Решение

Пусть  y  – прибыль:  \(y = P\,Q-6000Q-4000000-t\,Q.\)

Пусть  z  – общая сумма налогов, собранных государством: \(z = t\,Q.\)

Так как  \(Q = 20000-P,\)  то  \(P = 20000-Q.\)  Тогда:

\(y = 20000Q-{Q^2}-6000Q-4000000-t\,Q\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;y = -{Q^2}-\left( {t-14000} \right)Q-4000000.\)

Графиком полученной функции является парабола, ветви которой направлены вниз. Следовательно, её наибольшее значение будет в вершине: \({Q_B} = \frac{{14000-t}}{2}.\)

Тогда:  \(z = t\,Q\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;z = t\,\left( {\frac{{14000-t}}{2}} \right)\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;z = -\frac{{{t^2}}}{2} + 7000t.\)

Наибольшее значение полученной параболы, ветви которой направлены вниз, будет в вершине:  \({t_B} = \frac{{-7000}}{{-2 \cdot \frac{1}{2}}} = 7000.\)

Следовательно, сумма налогов собранных государством, будет максимальной при  \(t = 7000\)  руб.

Ответ:  7000.