3. У фермера есть два поля, каждое площадью 10 гектаров. На каждом поле можно выращивать картофель и свёклу, поля можно делить между этими культурами в любой пропорции. Урожайность картофеля на первом поле составляет 400 ц/га, а на втором — 300 ц/га. Урожайность свёклы на первом поле составляет 300 ц/га, а на втором — 400 ц/га. Фермер может продавать картофель по цене 10 000 руб. за центнер, а свёклу — по цене 11 000 руб. за центнер. Какой наибольший доход может получить фермер?

Ответ

ОТВЕТ: 84 млн. руб.

Решение

Урожайность свёклы на втором поле выше, и она дороже, поэтому второе поле нужно полностью засадить свёклой. Тогда доход с данного поля составит:  \(10 \cdot 400 \cdot 11 = 44000\)  тыс. руб.

Пусть на первом поле вырастили  x  кг картофеля и  \(\left( {10-x} \right)\)  кг свёклы, где \(x \in \left[ {0;10} \right].\)  Тогда доход с первого поля составит:

\(y = x \cdot 400 \cdot 10 + \left( {10-x} \right) \cdot 300 \cdot 11 = 4000x + 33000-3300x = 700x + 33000\)  тыс. руб.

Полученная функция является линейной с положительным угловым коэффициентом  \(k = 700.\) Значит, данная функция достигает своего наибольшего значения на отрезке  \(x \in \left[ {0;10} \right]\)  при  \(x = 10.\)  Тогда наибольший доход с первого поля будет равен:  \(y = 700 \cdot 10 + 33000 = 40000\)  тыс. руб.

Тем самым, наибольший возможный доход фермера составит:

\(40000 + 44000 = 84000\)  тыс. руб.  \( = 84\)  млн руб.

Ответ:  84 млн. руб.