ЕГЭ Профиль №16. Экономические задачи на оптимизацию. Задача 3math100admin44242023-10-07T17:55:52+03:00
3. У фермера есть два поля, каждое площадью 10 гектаров. На каждом поле можно выращивать картофель и свёклу, поля можно делить между этими культурами в любой пропорции. Урожайность картофеля на первом поле составляет 400 ц/га, а на втором — 300 ц/га. Урожайность свёклы на первом поле составляет 300 ц/га, а на втором — 400 ц/га. Фермер может продавать картофель по цене 10 000 руб. за центнер, а свёклу — по цене 11 000 руб. за центнер. Какой наибольший доход может получить фермер?
Решение
Урожайность свёклы на втором поле выше, и она дороже, поэтому второе поле нужно полностью засадить свёклой. Тогда доход с данного поля составит: \(10 \cdot 400 \cdot 11 = 44000\) тыс. руб.
Пусть на первом поле вырастили x кг картофеля и \(\left( {10-x} \right)\) кг свёклы, где \(x \in \left[ {0;10} \right].\) Тогда доход с первого поля составит:
\(y = x \cdot 400 \cdot 10 + \left( {10-x} \right) \cdot 300 \cdot 11 = 4000x + 33000-3300x = 700x + 33000\) тыс. руб.
Полученная функция является линейной с положительным угловым коэффициентом \(k = 700.\) Значит, данная функция достигает своего наибольшего значения на отрезке \(x \in \left[ {0;10} \right]\) при \(x = 10.\) Тогда наибольший доход с первого поля будет равен: \(y = 700 \cdot 10 + 33000 = 40000\) тыс. руб.
Тем самым, наибольший возможный доход фермера составит:
\(40000 + 44000 = 84000\) тыс. руб. \( = 84\) млн руб.
Ответ: 84 млн. руб.