30 (ЕГЭ 2025). Зависимость количества Q (в шт., \(0 \leqslant Q \leqslant 15\;000\)) купленного у фирмы товара от цены P (в руб. за шт.) выражается формулой \(Q = 15\;000 — P\). Затраты на производство Q единиц товара составляют \(3\;000Q + 1\;000\;000\) рублей. Кроме затрат на производство, фирма должна платить налог t рублей \(\left( {0 < t < 10\;000} \right)\) с каждой произведённой единицы товара. Таким образом, прибыль фирмы составляет \(PQ — 3\;000Q — 1\;000\;000 — t\,Q\) рублей, а общая сумма налогов, собранных государством, равна \(t\,Q\) рублей. Фирма производит такое количество товара, при котором её прибыль максимальна. При каком значении t общая сумма налогов, собранных государством, будет максимальной?

Ответ

ОТВЕТ: 6 000.

Решение

Пусть  y  – прибыль:  \(y = P\,Q-3000Q-1000000-t\,Q.\)

Пусть  z  – общая сумма налогов, собранных государством:  \(z = t\,Q.\)

Так как  \(Q = 15000-P,\)  то  \(P = 15000-Q.\)  Тогда:

\(y = 15000Q-{Q^2}-3000Q-1000000-t\,Q\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;y = -{Q^2}-\left( {t-12000} \right)Q-1000000.\)

Графиком полученной функции является парабола, ветви которой направлены вниз. Следовательно, её наибольшее значение будет в вершине: \({Q_B} = \dfrac{{12000-t}}{2}.\)

Тогда:  \(z = t\,Q\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;z = t\,\left( {\dfrac{{12000-t}}{2}} \right)\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;z = -\dfrac{{{t^2}}}{2} + 6000t.\)

Наибольшее значение полученной параболы, ветви которой направлены вниз, будет в вершине:

 \({t_B} = \dfrac{{-6000}}{{-2 \cdot \dfrac{1}{2}}} = 6000.\)

Следовательно, сумма налогов собранных государством, будет максимальной при \(t = 6000\)  руб.

Ответ:  6000.