31. Зависимость объёма Q (в шт.) купленного у фирмы товара от цены Р (в руб. за шт.) выражается формулой \(Q = 15\;000 — P,\quad 1\;000 \leqslant P \leqslant 15\;000\). Доход от продажи товара составляет РQ рублей. Затраты на производство Q единиц товара составляют \(3\;000Q + 5\;000\;000\) рублей. Прибыль равна разности дохода от продажи товара и затрат на его производство. Стремясь привлечь внимание покупателей, фирма уменьшила цену товара на 20%, однако её прибыль не изменилась. На сколько процентов следует увеличить сниженную цену, чтобы добиться наибольшей прибыли?

Ответ

ОТВЕТ: 12,5.

Решение

Пусть  y  – прибыль. Тогда: 

\(y = P\,Q-3000Q-5000000-t\,Q\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;y = P\left( {15000-P} \right)-3000\left( {15000-P} \right)-5000000\;\;\;\; \Leftrightarrow \)

\( \Leftrightarrow \;\;\;\;y = -{P^2} + 18000P-50000000.\)

После того как цена уменьшилась на  20%,  то есть стала  0,8P,  прибыль осталась прежней. Следовательно:

\(-{P^2} + 18000P-50000000 = -0,64{P^2} + 14400P-50000000\;\;\;\; \Leftrightarrow \)\( \Leftrightarrow \;\;\;\;0,36{P^2}-3600P = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{P_1} = 0,\;\;\;\;\;\;\;}\\{{P_2} = 10000.}\end{array}} \right.\)

Так как по условию  \(1000 \le P \le 15000,\)  то  \(P = 10000.\)

Следовательно, до снижения цены  \(P = 10000\)  руб., а после снижения на  20 %  составила 8000 руб.

Определим, при каком значении  P  прибыль будет наибольшей. Графиком функции  \(y = -{P^2} + 18000P-50000000\) является парабола, ветви которой направлены вниз. Следовательно, её наибольшее значение будет в вершине: \({P_B} = -\frac{{18000}}{{-2}} = 9000.\)

Следовательно, при  P=9000  прибыль будет наибольшей.

Найдём, сколько процентов составляет  \(P = 9000\)  от сниженной цены, равной  8000:  \(\frac{{9000 \cdot 100\% }}{{8000}} = 112,5\% .\)

Следовательно, сниженную цену надо увеличить на  \(112,5\% -100\%  = 12,5\% .\)

Ответ:  12,5.