ЕГЭ Профиль №16. Экономические задачи на оптимизацию. Задача 32math100admin44242025-04-02T12:58:06+03:00
32. На счет, который Кирилл Николаевич имел в начале 1-го года, начисляется в конце этого года x процентов, а на тот счет, который Кирилл Николаевич имел в конце 2-го года y процентов, причем \(x + y = 50\% \). Кирилл Николаевич положил на счет в начале 1-го года некоторую сумму и добавил в конце 1-го года после начисления процентов десятую часть этой суммы. При каком значении x счет в конце 2-го года окажется максимальным?
Решение
Пусть А – первоначальный вклад. Так как за первый год банк начисляет x%, то через год после начисления процентов сумма будет равна: \(A \cdot \dfrac{{100 + x}}{{100}}.\)
После добавления десятой части от первоначального вклада сумма будет равна: \(A \cdot \dfrac{{100 + x}}{{100}} + \dfrac{A}{{10}}.\)
Так как \(x + y = 50\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;y = 50-x,\) то в конце второго года после начисления процентов вклад будет равен:
\(z = \left( {A \cdot \dfrac{{100 + x}}{{100}} + \dfrac{A}{{10}}} \right) \cdot \dfrac{{100 + 50-x}}{{100}}\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;z = A \cdot \dfrac{{110 + x}}{{100}} \cdot \dfrac{{150-x}}{{100}}\;\;\;\; \Leftrightarrow \)
\( \Leftrightarrow \;\;\;\;z = \dfrac{A}{{10000}} \cdot \left( {-{x^2} + 40x + 16500} \right).\)
Графиком полученной функции является парабола, ветви которой направлены вниз. Следовательно, её наибольшее значение будет в вершине: \({x_B} = -\dfrac{{40}}{{-2}} = 20\).
Значит, при \(x = 20\% \) в конце второго сумма на вкладе будет наибольшей.
Ответ: 20.