32. На счет, который Кирилл Николаевич имел в начале 1-го года, начисляется в конце этого года x процентов, а на тот счет, который Кирилл Николаевич имел в конце 2-го года y процентов, причем \(x + y = 50\% \). Кирилл Николаевич положил на счет в начале 1-го года некоторую сумму и добавил в конце 1-го года после начисления процентов десятую часть этой суммы. При каком значении x счет в конце 2-го года окажется максимальным?

Ответ

ОТВЕТ: 20.

Решение

Пусть  А  – первоначальный вклад. Так как за первый год банк начисляет  x%, то через год после начисления процентов сумма будет равна:  \(A \cdot \frac{{100 + x}}{{100}}.\)

После добавления десятой части от первоначального вклада сумма будет равна:  \(A \cdot \frac{{100 + x}}{{100}} + \frac{A}{{10}}.\)

Так как  \(x + y = 50\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;y = 50-x,\)  то в конце второго года после начисления процентов вклад будет равен:

\(z = \left( {A \cdot \frac{{100 + x}}{{100}} + \frac{A}{{10}}} \right) \cdot \frac{{100 + 50-x}}{{100}}\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;z = A \cdot \frac{{110 + x}}{{100}} \cdot \frac{{150-x}}{{100}}\;\;\;\; \Leftrightarrow \)

\( \Leftrightarrow \;\;\;\;z = \frac{A}{{10000}} \cdot \left( {-{x^2} + 40x + 16500} \right).\)

Графиком полученной функции является парабола, ветви которой направлены вниз. Следовательно, её наибольшее значение будет в вершине: \({x_B} = -\frac{{40}}{{-2}} = 20\).

Значит, при  \(x = 20\% \)  в конце второго сумма на вкладе будет наибольшей.

Ответ:  20.