33. (ЕГЭ 2019, 2025) Строительство нового завода стоит 159 млн. рублей. Затраты на производство x тыс. ед. продукции на таком заводе равны \(0,5{x^2} + 2x + 6\) млн. рублей в год. Если продукцию завода продать по цене p тыс. рублей за единицу, то прибыль фирмы (в млн. рублей) за один год составит \(p\,x — \left( {0,5{x^2} + 2x + 6} \right)\). Когда завод будет построен, фирма будет выпускать продукцию в таком количестве, чтобы прибыль была наибольшей. Цена продукции в первый год 10 тыс. рублей, а каждый следующий год увеличивается на 1 тыс. рублей. Через сколько лет окупится строительство завода?

Ответ

ОТВЕТ: 4.

Решение

Прибыль за один год выражается формулой:

\(y = p\,x-\left( {0,5{x^2} + 2x + 6} \right)\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;y = -0,5{x^2} + \left( {p-2} \right)x-6.\)

Так как в первый год  \({p_1} = 10\)  тыс. руб., то  \(y = -0,5{x^2} + 8x-6.\)

Графиком полученной функции является парабола, ветви которой направлены вниз. Следовательно, её наибольшее значение будет в вершине:  \({x_B} = \dfrac{{-8}}{{-2 \cdot 0,5}} = 8.\)   Тогда:  \(y\left( 8 \right) = 26 < 159.\)

Во второй год  \({p_2} = 11\)  тыс. руб., значит \(y = -0,5{x^2} + 9x-6.\)

Аналогично находим наибольшее значение полученной функции:  \({x_B} = \dfrac{{-9}}{{-2 \cdot 0,5}} = 9.\)  Тогда:   \(y\left( 9 \right) = 34,5.\)

Тогда прибыль за два года составит:  \(26 + 34,5 = 60,5 < 159.\)

В третий год  \({p_3} = 12\)  тыс. руб., значит  \(y = -0,5{x^2} + 10x-6.\)

\({x_B} = \dfrac{{-10}}{{-2 \cdot 0,5}} = 10.\)   Тогда:   \(y\left( {10} \right) = 44.\)

Прибыль за три года составит:  \(26 + 34,5 + 44 = 104,5 < 159.\)

В четвёртый год  \({p_4} = 13\)  тыс. руб., значит  \(y = -0,5{x^2} + 11x-6.\)

\({x_B} = \dfrac{{-11}}{{-2 \cdot 0,5}} = 11.\)  Тогда:   \(y\left( {11} \right) = 54,5.\)

Тогда прибыль за 4 года составит:  \(26 + 34,5 + 44 + 54,5 = 159.\)

То есть строительство завода окупится через 4 года.

Ответ:  4.