34. Евгений хочет купить пакет акций компании. 15 февраля он отложил определённую сумму денег и планирует откладывать такую же сумму денег 15 числа каждого месяца. Первого февраля пакет акций стоил 195 000 рублей. Первого числа каждого месяца пакет акций дорожает на 40 %. Какую наименьшую сумму нужно Евгению откладывать каждый месяц, чтобы через некоторое время купить желаемый пакет акций?
Пусть каждый месяц 15-го числа откладывается сумма, равная А. Тогда к середине n-го месяца будет отложена сумма \(n\,A\), а стоимость акции будет: \(195000 \cdot {1,4^{n-1}}.\) Следовательно:
\(n\,A \ge 195000 \cdot {1,4^{n-1}}\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;A \ge 195000 \cdot \frac{{{{1,4}^{n-1}}}}{n}.\)
Так как А должно быть наименьшим, то \(A = 195000 \cdot \frac{{{{1,4}^{n-1}}}}{n}.\)
Исследуем полученную функцию на монотонность. Найдём производную: \(A’ = 195000 \cdot \frac{{{{1,4}^{n-1}} \cdot \ln 1,4 \cdot n-{{1,4}^{n-1}}}}{{{n^2}}}.\)
Найдём нули производной:
\(195000 \cdot \frac{{{{1,4}^{n-1}} \cdot \ln 1,4 \cdot n-{{1,4}^{n-1}}}}{{{n^2}}} = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;{1,4^{n-1}} \cdot \left( {{\rm{n}} \cdot \ln 1,4-1} \right) = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \)
\( \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{{1,4}^{n-1}} = 0,\;\,}\\{{\rm{n}} \cdot \ln 1,4 = 1}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;n = {\log _{1,4}}e._{}^{}\)
Следовательно, \({\rm{n}} = {\log _{1,4}}e\) является точкой минимума.
Выясним приближённое значение \({\log _{1,4}}e:\)
\({1,4^2} = 1,96;\;\;\;\;{1,4^3} = 2,744\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;2 < {\log _{1,4}}e < 3.\)
Так как \(n \in N,\) то А будет наименьшим при n=2 или n=3.
\(A\left( 2 \right) = \frac{{195000 \cdot 1,4}}{2} = 136500.\)
\(A\left( 3 \right) = \frac{{195000 \cdot {{1,4}^2}}}{3} = 127400.\)
Следовательно, для покупки желаемого пакета акций Евгению необходимо откладывать каждый месяц минимум по 127400 руб.
Ответ: 127400.