Пусть каждый месяц 15-го числа откладывается сумма, равная А. Тогда к середине n-го месяца будет отложена сумма \(n \cdot A\), а стоимость акции будет: \(160000 \cdot {1,25^{n-1}}.\) Следовательно:
\(n\,A \ge 160000 \cdot {1,25^{n-1}}\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;A \ge 160000 \cdot \dfrac{{{{1,25}^{n-1}}}}{n}.\)
Так как А должно быть наименьшим, то \(A = 160000 \cdot \dfrac{{{{1,25}^{n-1}}}}{n}.\)
Исследуем полученную функцию на монотонность. Найдём производную:
\(A’ = 160000 \cdot \dfrac{{{{1,25}^{n-1}} \cdot \ln 1,25 \cdot n-{{1,25}^{n-1}}}}{{{n^2}}}.\)
Найдём нули производной:
\(160000 \cdot \dfrac{{{{1,25}^{n-1}} \cdot \ln 1,25 \cdot n-{{1,25}^{n-1}}}}{{{n^2}}} = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;{1,25^{n-1}} \cdot \left( {{\rm{n}} \cdot \ln 1,25-1} \right) = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \)
\( \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{{1,25}^{n-1}} = 0,\;\,}\\{{\rm{n}} \cdot \ln 1,25 = 1}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;n = {\log _{1,25}}e.\)
Следовательно, \({\rm{n}} = {\log _{1,25}}e\) является точкой минимума.
Выясним приближённое значение \({\log _{1,25}}e:\)
\({1,25^4} \approx 2,44;\;\;\;\;{1,25^5} \approx 3,05\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;4 < {\log _{1,25}}e < 5.\)
Так как \(n \in N,\) то А будет наименьшим при n=4 или n=5.
\(A\left( 4 \right) = 160000 \cdot \dfrac{{{{1,25}^3}}}{4} = 78125.\)
\(A\left( 5 \right) = 160000 \cdot \dfrac{{{{1,25}^4}}}{5} = 78125.\)
Следовательно, для покупки желаемого пакета акций Михаилу необходимо откладывать каждый месяц минимум по 78125 руб.
Ответ: 78125.