4. У фермера есть два поля, каждое площадью 10 гектаров. На каждом поле можно выращивать картофель и свёклу, поля можно делить между этими культурами в любой пропорции. Урожайность картофеля на первом поле составляет 500 ц/га, а на втором — 300 ц/га. Урожайность свёклы на первом поле составляет 300 ц/га, а на втором – 500 ц/га. Фермер может продать картофель по цене 5 000 руб. за центнер, а свёклу — по цене 8 000 руб. за центнер. Какой наибольший доход может получить фермер?

Ответ

ОТВЕТ: 65 млн. руб.

Решение

Урожайность свёклы на втором поле выше, и она дороже, поэтому второе поле нужно полностью засадить свёклой. Тогда доход с данного поля составит:  \(10 \cdot 500 \cdot 8 = 40000\)  тыс. руб.

Пусть на первом поле вырастили  x  кг картофеля и  \(\left( {10-x} \right)\)  свёклы, где  \(x \in \left[ {0;10} \right].\)  Тогда доход с первого поля составит:

\(y = x \cdot 500 \cdot 5 + \left( {10-x} \right) \cdot 300 \cdot 8 = 2500x + 24000-2400x = 100x + 24000\)  тыс. руб.

Полученная функция является линейной с положительным угловым коэффициентом  \(k = 100.\) Значит, данная функция достигает своего наибольшего значения на отрезке  \(x \in \left[ {0;10} \right]\)  при  \(x = 10.\)  Тогда наибольший доход с первого поля будет равен:  \(y = 100 \cdot 10 + 24000 = 25000\)  тыс. руб.

Тем самым, наибольший возможный доход фермера составит:

\(40000 + 25000 = 65000\)  тыс. руб. \( = 65\)  млн руб.

Ответ:  65 млн. руб.