ЕГЭ Профиль №16. Экономические задачи на оптимизацию. Задача 4math100admin44242023-10-07T17:55:55+03:00
4. У фермера есть два поля, каждое площадью 10 гектаров. На каждом поле можно выращивать картофель и свёклу, поля можно делить между этими культурами в любой пропорции. Урожайность картофеля на первом поле составляет 500 ц/га, а на втором — 300 ц/га. Урожайность свёклы на первом поле составляет 300 ц/га, а на втором – 500 ц/га. Фермер может продать картофель по цене 5 000 руб. за центнер, а свёклу — по цене 8 000 руб. за центнер. Какой наибольший доход может получить фермер?
Решение
Урожайность свёклы на втором поле выше, и она дороже, поэтому второе поле нужно полностью засадить свёклой. Тогда доход с данного поля составит: \(10 \cdot 500 \cdot 8 = 40000\) тыс. руб.
Пусть на первом поле вырастили x кг картофеля и \(\left( {10-x} \right)\) свёклы, где \(x \in \left[ {0;10} \right].\) Тогда доход с первого поля составит:
\(y = x \cdot 500 \cdot 5 + \left( {10-x} \right) \cdot 300 \cdot 8 = 2500x + 24000-2400x = 100x + 24000\) тыс. руб.
Полученная функция является линейной с положительным угловым коэффициентом \(k = 100.\) Значит, данная функция достигает своего наибольшего значения на отрезке \(x \in \left[ {0;10} \right]\) при \(x = 10.\) Тогда наибольший доход с первого поля будет равен: \(y = 100 \cdot 10 + 24000 = 25000\) тыс. руб.
Тем самым, наибольший возможный доход фермера составит:
\(40000 + 25000 = 65000\) тыс. руб. \( = 65\) млн руб.
Ответ: 65 млн. руб.