5. В двух шахтах добывают алюминий и никель. На первой шахте имеется 50 рабочих, каждый из которых готов трудиться 6 часов в день. При этом один рабочий за час добывает 1 кг алюминия или 3 кг никеля. На второй шахте имеется 180 рабочих, каждый из которых готов трудиться 6 часов в день. При этом один рабочий за час добывает 3 кг алюминия или 1 кг никеля. Обе шахты поставляют добытый металл на завод, где для нужд промышленности производится сплав алюминия и никеля, в котором на 3 кг алюминия приходится 2 кг никеля. При этом шахты договариваются между собой вести добычу металлов так, чтобы завод мог произвести наибольшее количество сплава. Сколько килограммов сплава при таких условиях ежедневно сможет произвести завод?
В первой шахте рабочие трудятся по \(50 \cdot 6 = 300\) часов, а во второй – \(180 \cdot 6 = 1080\) часов.
Пусть в первой шахте будет затрачено на добычу алюминия x человеко-часов, где \(x \in \left[ {0;300} \right],\) а во второй – y человеко-часов, где \(y \in \left[ {0;1080} \right].\)
Так как на 3 кг алюминия приходится 2 кг никеля, то масса алюминия должна быть в полтора раза больше, чем масса никеля:
\(2\left( {x + 3y} \right) = 3\left( {1980-3x-y} \right)\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;2x + 6y = 5940-9x-3y\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;y = 660-\frac{{11x}}{9}.\)
Пусть z кг – масса сплава, которую производит завод. Тогда \(z = x + 3y + 1980-3x-y = 1980-2x + 2y.\)
\(\left\{ \begin{array}{l}y = 660-\frac{{11x}}{9},\\z = 1980-2x + 2y\end{array} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;z = 1980-2x + 2\left( {660-\frac{{11x}}{9}} \right)\;\;\;\, \Leftrightarrow \;\;\;\;z = 3300-\frac{{40}}{9}x.\)
Полученная функция является линейной с отрицательным угловым коэффициентом \(k = -\frac{{40}}{9}.\) Значит, данная функция достигает своего наибольшего значения на отрезке \(x \in \left[ {0;300} \right]\) при \(x = 0.\) Тогда \(y = 660 \in \left[ {0;1080} \right].\) Следовательно, наибольшее количество сплава, которое сможет произвести завод, составит: \(z = 3300\) кг.
Ответ: 3300 кг.