6. В двух шахтах добывают алюминий и никель. На первой шахте имеется 60 рабочих, каждый из которых готов трудиться 5 часов в день. При этом один рабочий за час добывает 2 кг алюминия или 3 кг никеля. На второй шахте имеется 260 рабочих, каждый из которых готов трудиться 5 часов в день. При этом один рабочий за час добывает 3 кг алюминия или 2 кг никеля. Обе шахты поставляют добытый металл на завод, где для нужд промышленности производится сплав алюминия и никеля, в котором на 2 кг алюминия приходится 1 кг никеля. При этом шахты договариваются между собой вести добычу металлов так, чтобы завод мог произвести наибольшее количество сплава. Сколько килограммов сплава при таких условиях ежедневно сможет произвести завод?
В первой шахте рабочие трудятся по \(60 \cdot 5 = 300\) часов, а во второй – \(260 \cdot 5 = 1300\) часов.
Пусть в первой шахте будет затрачено на добычу алюминия x человеко-часов, где \(x \in \left[ {0;300} \right],\) а во второй – y человеко-часов, где \(y \in \left[ {0;1300} \right].\)
Так как на 2 кг алюминия приходится 1 кг никеля, то масса алюминия должна быть в 2 раза больше, чем масса никеля:
\(2x + 3y = 2\left( {3500-3x-2y} \right)\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,2x + 3y = 7000-6x-4y\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,y = 1000-\frac{{8x}}{7}.\)
Пусть z кг – масса сплава, которую производит завод. Тогда \(z = 2x + 3y + 3500-3x-2y = 3500-x + y.\)
\(\left\{ \begin{array}{l}y = 1000-\frac{{8x}}{7},\\z = 3500-x + y\end{array} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;z = 3500-x + 1000-\frac{{8x}}{7}\;\;\;\, \Leftrightarrow \;\;\;\;z = 4500-\frac{{15}}{7}x.\)
Полученная функция является линейной с отрицательным угловым коэффициентом \(k = -\frac{{15}}{7}.\) Значит данная функция достигает своего наибольшего значения на отрезке \(x \in \left[ {0;300} \right]\) при \(x = 0.\) Тогда \(y = 1000 \in \left[ {0;1300} \right].\) Следовательно, наибольшее количество сплава, которое сможет произвести завод, составит: \(z = 4500\) кг.
Ответ: 4500 кг.