Сергей готов заплатить за \(t = \dfrac{{608400}}{{400}} = 1521\) час работы. Пусть \({x^2}\) часов рабочие трудятся на заводе, расположенном в первом городе, где \({x^2} \in \left[ {0;1521} \right]; \;\;\;\;0 \le x \le 39,\) \({y^2}\) часов – во втором городе, где \({y^2} \in \left[ {0;1521} \right]; \;\;\;\;0 \le y \le 39.\) Тогда общее время работы на двух заводах будет равно: \({x^2} + {y^2} = 1521.\) При этом на заводе, расположенном в первом городе, производят \(5x\) единиц товара, во втором – \(12y\) единиц товара.
Пусть z – общее количество единиц произведённого товара. Тогда: \(z = 5x + 12y.\) Следовательно:
\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{z = 5x + 12y,\;\;}\\{{x^2} + {y^2} = 1521}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{z = 5x + 12y,\;\;\;}\\{y = \sqrt {1521-{x^2}} }\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;z = 5x + 12\sqrt {1521-{x^2}} .\)
Требуется найти z наибольшее при \(x \in \left[ {0;39} \right].\) Найдём производную:
\(z’ = 5-12 \cdot \dfrac{{2x}}{{2\sqrt {1521-{x^2}} }} = \dfrac{{5\sqrt {1521-{x^2}} -12x}}{{\sqrt {1521-{x^2}} }}.\)
Найдём нули производной:
\(\dfrac{{5\sqrt {1521-{x^2}} -12x}}{{\sqrt {1521-{x^2}} }} = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;5\sqrt {1521-{x^2}} = 12x\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;25 \cdot 1521-25{x^2} = 144{x^2}\;\;\;\; \Leftrightarrow \)
\( \Leftrightarrow \;\;\;\;169{x^2} = 25 \cdot 1521\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;{x^2} = \dfrac{{25 \cdot 1521}}{{169}}\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;x = \dfrac{{5 \cdot 39}}{{13}} = 15.\)
Следовательно, \(x = 15\) – точка максимума, и значит z будет наибольшим при \(x = 15.\)
\(z\left( {15} \right) = 5 \cdot 15 + 12 \cdot \sqrt {1521-{{15}^2}} = 507\) единиц товара.
Ответ: 507.