8. Владлен является владельцем двух заводов в разных городах. На заводах производятся абсолютно одинаковые товары, но на заводе, расположенном во втором городе, используется более совершенное оборудование. В результате если рабочие на заводе, расположенном в первом городе, трудятся суммарно t2 часов в неделю, то за эту неделю они производят 6t единиц товара, а если рабочие на заводе, расположенном во втором городе, трудятся суммарно t2 часов в неделю, то за эту неделю они производят 8t единиц товара. За каждый час работы (на каждом из заводов) Владлен платит рабочему 300 рублей. Владлен готов выделять 1 920 000 рублей в неделю на оплату труда рабочих. Какое наибольшее количество единиц товара можно произвести за неделю на этих двух заводах?
Владлен готов заплатить за \(t = \frac{{1920000}}{{300}} = 6400\) часов работы. Пусть \({x^2}\) часов рабочие трудятся на заводе, расположенном в первом городе, где \({x^2} \in \left[ {0;6400} \right];\;\;\;\;0 \le x \le 80,\) \({y^2}\) часов – во втором, где \({y^2} \in \left[ {0;6400} \right];\;\;\;\;0 \le y \le 80.\) Тогда общее время работы на двух заводах будет равно: \({x^2} + {y^2} = 6400.\) При этом на заводе, расположенном в первом городе, производят \(6x\) единиц товара, во втором – \(8y\) единиц товара.
Пусть z – общее количество единиц произведённого товара. Тогда: \(z = 6x + 8y.\) Следовательно:
\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{z = 6x + 8y,\;\;\;\;}\\{{x^2} + {y^2} = 6400}\end{array}} \right.\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{z = 6x + 8y,\;\;\;\;\;}\\{y = \sqrt {6400-{x^2}} }\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;z = 6x + 8\sqrt {6400-{x^2}} .\)
Требуется найти z наибольшее при \(x \in \left[ {0;80} \right].\) Найдём производную:
\(z’ = 6-8 \cdot \frac{{2x}}{{2\sqrt {6400-{x^2}} }} = \frac{{6\sqrt {6400-{x^2}} -8x}}{{\sqrt {6400-{x^2}} }}.\)
Найдём нули производной:
\(\frac{{6\sqrt {6400-{x^2}} -8x}}{{\sqrt {6400-{x^2}} }} = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;6\sqrt {6400-{x^2}} = 8x\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;36 \cdot 6400-36{x^2} = 64{x^2}\;\;\;\; \Leftrightarrow \)
\( \Leftrightarrow \;\;\;\;100{x^2} = 36 \cdot 6400\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;{x^2} = \frac{{36 \cdot 6400}}{{100}}\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;x = 6 \cdot 8 = 48.\)
Следовательно, \(x = 48\) – точка максимума, и значит z будет наибольшим при \(x = 48.\)
\(z\left( {48} \right) = 6 \cdot 48 + 8 \cdot \sqrt {6400-{{48}^2}} = 800\) единиц товара.
Ответ: 800.