1В. Биссектриса CD угла ACB при основании равнобедренного треугольника ABC (AB = AC) делит сторону AB так, что AD = BC = 2.

а) Докажите, что CD = BC.

б) Найдите площадь треугольника ABC.

Ответ

ОТВЕТ: \(\sqrt {5 + 2\sqrt 5 } .\)

Решение

а) Пусть \(AB = AC = x\), тогда \(BD = x—{\rm{ }}2\).   По свойству биссектрисы CD:

\(\frac{{AD}}{{BD}} = \frac{{AC}}{{BC}}\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\frac{2}{{x — 2}} = \frac{x}{2}\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,{x^2} — 2x — 4 = 0\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \)

\( \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,{x_1} = 1 + \sqrt 5 ;\,\,\,\,\,{x_2} = 1 — \sqrt 5 ,\,\)  где x2 < 0 не подходит.

Найдём длину биссектрисы CD:

\(CD = {\kern 1pt} \,{\kern 1pt} \sqrt {AC \cdot BC — AD \cdot BD}  = \sqrt {2x — 2x + 4}  = 2\).

CD = 2,  BC = 2    \( \Leftrightarrow \)    CD = BC.  Что и требовалось доказать.

б) По теореме Пифагора из треугольника AHC найдём AH:

\(AH\,\, = \,\sqrt {A{C^2} — C{H^2}}  = \,\sqrt {{{(1 + \sqrt 5 )}^2} — 1} \,\, = \,\,\sqrt {2\sqrt 5  + 5} .\)

\({S_{ABC}} = \frac{1}{2} \cdot AH \cdot BC = \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot \sqrt {2\sqrt 5  + 5}  = \sqrt {2\sqrt 5  + 5} .\)

Ответ: \(\,\sqrt {2\sqrt 5  + 5} \).