а) Пусть \(AB = AC = x\), тогда \(BD = x—{\rm{ }}2\). По свойству биссектрисы CD:
\(\frac{{AD}}{{BD}} = \frac{{AC}}{{BC}}\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\frac{2}{{x — 2}} = \frac{x}{2}\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,{x^2} — 2x — 4 = 0\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \)
\( \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,{x_1} = 1 + \sqrt 5 ;\,\,\,\,\,{x_2} = 1 — \sqrt 5 ,\,\) где x2 < 0 не подходит.
Найдём длину биссектрисы CD:
\(CD = {\kern 1pt} \,{\kern 1pt} \sqrt {AC \cdot BC — AD \cdot BD} = \sqrt {2x — 2x + 4} = 2\).
CD = 2, BC = 2 \( \Leftrightarrow \) CD = BC. Что и требовалось доказать.
б) По теореме Пифагора из треугольника AHC найдём AH:
\(AH\,\, = \,\sqrt {A{C^2} — C{H^2}} = \,\sqrt {{{(1 + \sqrt 5 )}^2} — 1} \,\, = \,\,\sqrt {2\sqrt 5 + 5} .\)
\({S_{ABC}} = \frac{1}{2} \cdot AH \cdot BC = \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot \sqrt {2\sqrt 5 + 5} = \sqrt {2\sqrt 5 + 5} .\)
Ответ: \(\,\sqrt {2\sqrt 5 + 5} \).