10В. На отрезке \(BD\) взята точка С. Биссектриса \(BL\) равнобедренного треугольника \(ABC\) с основанием \(BC\) является боковой стороной равнобедренного треугольника \(BLD\) с основанием \(BD.\)
а) Докажите, что треугольник \(DCL\) равнобедренный.
б) Известно, что \(\cos \angle ABC = \frac{3}{4}\). В каком отношении прямая \(DL\) делит сторону \(AB?\)
б) Пусть DL пересекает AB в точке O. Пусть BC = 6x, тогда BH = 3x. По определению косинуса из треугольника ABH: \(\cos ABH = \frac{{BH}}{{AB}}\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\frac{3}{4} = \frac{{3x}}{{AB}}\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,AB = 4x = AC.\) По свойству биссектрисы BL в треугольнике ABC: \(\frac{{BC}}{{AB}} = \frac{{LC}}{{AL}}\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\frac{{LC}}{{AL}} = \frac{{6x}}{{4x}} = \frac{3}{2}.\) Следовательно, \(LC = \frac{3}{5}AC = \frac{3}{5} \cdot 4x = 2,4x = CD,\) а \(BD = BC + CD = 6x + 2,4x = 8,4x.\) По теореме Менелая для треугольника ABC и прямой OL: \(\frac{{BO}}{{OA}} \cdot \frac{{AL}}{{LC}} \cdot \frac{{CD}}{{BD}} = 1\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\frac{{BO}}{{AO}} \cdot \frac{2}{3} \cdot \frac{{2,4x}}{{8,4x}} = 1\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\frac{{BO}}{{AO}} = \frac{{21}}{4}.\) Ответ: 21:4.
а) Пусть \(\angle ABL = \angle LBC = \angle LDC = \alpha ,\) тогда \(\angle ABC = \angle ACB = 2\alpha ,\) а \(\angle LCD\,\, = \,\,{180^\circ }\,\, — \,\,2\alpha .\) Из треугольника LCD: \(\angle CLD = {180^\circ } — 180^\circ + 2\alpha — \alpha = \alpha \). Так как угол CLD равен углу CDL, то треугольник CLD – равнобедренный. Что и требовалось доказать.