11В (ЕГЭ 2014). В равнобедренном треугольнике \(ABC\) с углом \({120^ \circ }\) при вершине \(A\) проведена биссектриса \(BD.\) В треугольник \(ABC\) вписан прямоугольник \(DEFH\) так, что сторона \(FH\) лежит на отрезке \(BC,\) а вершина \(E\) — на отрезке \(AB.\)
а) Докажите, что \(FH = 2DH.\)
б) Найдите площадь прямоугольника DEFH, если AB = 4.
б) Пусть AM, высота треугольника ABC, пересекает ED в точке N. Обозначим EF = x = NE, тогда BE = 2x (так как \(\angle EBF = {30^ \circ }\)), а \(AE = 4 — 2x.\) По определению косинуса из треугольника AEN: \(\cos {30^\circ } = \frac{{NE}}{{AE}}\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\frac{{\sqrt 3 }}{2} = \frac{x}{{4 — 2x}}\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,x = \frac{{2\sqrt 3 \left( {\sqrt 3 — 1} \right)}}{{\left( {\sqrt 3 + 1} \right)\left( {\sqrt 3 — 1} \right)}} = 3 — \sqrt 3 .\) Тогда площадь прямоугольника DEFH: \({S_{DEFH}} = DE \cdot DH = 2x \cdot x = 2{x^2} = 2 \cdot {\left( {3 — \sqrt 3 } \right)^2} = 24 — 12\sqrt 3 .\) Ответ: \(24 — 12\sqrt 3 \).
а) Пусть P – основание перпендикуляра, опущенного из точки D на прямую AB, тогда прямоугольные треугольники BPD и BHD равны (общая гипотенуза BD и равные углы DBH и DBP). Следовательно, DH = DP. Так как треугольник ABC – равнобедренный, то \(\angle ABC = \frac{{{{180}^\circ } — {{120}^\circ }}}{2} = {30^\circ },\) а значит и \(\angle AED = {30^ \circ }\) (потому что углы ABC и AED – соответственные при параллельных прямых DE и CB). В прямоугольном треугольнике EPD катет \(DP = \frac{1}{2}DE\). Из этого следует, что \(DE = 2DP = 2DH,\) то есть \(FH = 2DH.\) Что и требовалось доказать.